Chaine de markov

[ftrfy]

Bonjour je m'entraine sur un sujet portant sur les chaines de Markov mais j'aimerais qu'on m'aide si possible...

voici l'énoncé de la partie 1 :


et voici là ou je bloque:




je ne sais pas comment faire pour développer dans la récurrence
comment faire?

je pense qu'on peut se servir du binôme de newton mais
que faut il mettre dans les parentheses :
(...+...)^n = ???


merci d'avance!
Ps: j'ai utilisé un un serveur Web public pour afficher les images comme le précise la FAQ je pense que c'est toujours possible non?

[pascal16]

met bien les parenthèses comme il faut, tu as une double distributivité à faire

[ftrfy]

bonsoir , merci de ta réponse

voici où je bloque:

[ftrfy]

j'ai avancé dans la partie II

sujet:




mais je bloque à la 3a)

[pascal16]

Pour la partie 1 question 2 (le temps de rédiger, tu étais à la 3)

au passage J²=3J

garde ton premier terme
met ensuite 1/3 * J en facteur du reste (perso j'ai gardé les fractions avec des * entre elles et c'est plus simple)

il reste en facteur de J/3 :
(1/2) (1-1/2^n) + (1/2)(1/2^n) + (1/2)(1-1/2^n)

il est facile de regrouper le premier et le dernier terme

et ensuite celui du milieu

et la formule est juste

[ftrfy]

comment trouver ce 1/3 ???

[pascal16]

pour 2-3-a
deux pistes :
longue : en remplaçant cn par cn=1-bn-an et pareil pour cn+1, tu as un système de 2 équations à 2 inconnues. puis 2 suite arithmético-géométriques.
courte : an-bn est une suite géométrique de raison 1/2 -> résultat intermédiaire puis, par combinaison revenir aux valeurs de an, bn et cn

[ftrfy]

pour la partie 1
j'ai regardé le corrigé :



mais je ne comprends pas le passage de la 1ere à la 2 ème égalité et de la 2 a la 3 ème inégalité

pour le passage de la 1ere à la deuxième: on simplifie entre le 1/18 et le 3J OK on trouve 1/6 mais d'ou vient le 2 entre parenthèse ?
j'ai arrêté là donc:


https://image.noelshack.com/fichiers/20 ... ie-1-2.jpg


mais impossible de trouver d'ou sort le 2
moi j'aurais mis: 2* (( 1/6) (1-1/2^n) J)

mais il m'aurais reste le 1/2^n *J



et puis de la 2eme à la 3eme égalité : comment passer de 1/2^n à n+1 ??

[pascal16]

1/6 J d'un coté, 3 * 1/18 J de l'autre
ça fait 1/6 J d'un coté et 1/6 J de l'autre soit 1/6 * 2J

pour ton calcul
(1/6)J + 1/18(1-1/2^n)*3J
= (1/6)J + 1/6(1-1/2^n) J
= (1/6)J +(1/6)J -(1/6)(1/2^n) J
= (1/3)J -(1/3)*(1/2) (1/2^n) J
= (1/3)J -(1/3)(1/2^n+1) J
= (1/3)(1-1/2^n+1)J

[ftrfy]

merci beaucoup, je reprends le calcul et je vous dit si j'ai bien compris !




ensuite pour la partie II

sur la correction :




j'ai pour an , pour bn et pour cn
mais je ne comprends pas d'ou vient le an+2 (an+1/2^n) ?

et pareille pour le an= 1/3 + 2/3*2^n ???

[ftrfy]

pour ton calcul
(1/6)J + 1/18(1-1/2^n)*3J
= (1/6)J + 1/6(1-1/2^n) J
= (1/6)J +(1/6)J -(1/6)(1/2^n) J
= (1/3)J -(1/3)*(1/2) (1/2^n) J
= (1/3)J -(1/3)(1/2^n+1) J
= (1/3)(1-1/2^n+1)J

mais je n'ai pas de (1/6)J

j'ai 1/2^n * 1/6J + 1/6(1-1/2^n) J+ 1/6(1-1/2^n) J

[ftrfy]

j'obtiens ceci mais c'est faut je ne peux pas avoir de n+1 pour le 1/2

[pascal16]

pour n=1, on a M= I/2 + J/6

M^n*M=( I/2^n + (1/3)(1-1/2^n)J )(I/2+J/6)
=(I/2^n )(I/2) + ( I/2^n )(J/6) + ((1/3)(1-1/2^n)J)*(I/2)) + (1/3)(1-1/2^n)J*(J/6)
=I/2^n+1 + (1/2^n)(1 /6 ) J + (1/6)(1-1/2^n)J + (1/18)(1-1/2^n)J²
or J²=3J
=I/2^n+1 + (1/2^n)(1 /6 ) J + (1/6)(1-1/2^n)J + (1/6)(1-1/2^n)J
=I/2^n+1 + (1/2^n)(1 /6 ) J + (1/3)(11/-2^n)J
=I/2^n+1 +(1/3) (1/2)(1/2^n ) J + (1/3)(1-1/2^n)J
=I/2^n+1 +(1/3) ((1/2)*(1/2^n) + 1-1/2^n)J
=I/2^n+1 +(1/3) (1+ (1/2)*(1/2^n) -1/2^n)J
=I/2^n+1 +(1/3) (1 -1/2^n+1)J