Injection

[norah]

bonjour,
je dois montrer qu'une application est injective mais je ne sais pas comment faire...
voilà: f: N² \Rightarrow N
(x;y) \Rightarrow ((x+y)(x+y+1)/2)+y
j'ai considéré deux couples de N² (x;y) et (a;b)
et j'ai supposé qu f((a;b))=f((x;y)) donc b-y= ((x+y)(x+y+1)-(a+b)(a+b+1))/2
enfin arrivée là, je ne sais pas comment montrer que (x+y)(x+y+1)= (a+b)(a+b+1)
et donc montrer que b=y

[pascal16]

Une façon de faire, peu calculatoire, sans critère de divisibilité ni partie entière (donc pas la plus belle) :

on peut remarquer que (x+y)(x+y+1)/2 =
f(a,b)=f(x,y) devient

(1+2+3+...+(a+b) ) + b = (1+2+3+...+(x+y) ) +y

supposons b>=y , on a alors
b -y = (1+2+3+...+(x+y) ) -(1+2+3+...+(a+b) )
à gauche 0<=b-y <= b, mais à droite, peut-on avoir une différence plus petite que b ? (c'est aussi comme ça que tu peux faire dans ton calcul)
de même pour b<=y, conclusion sur l'égalité au pas de b et y ?
puis sur celle de (a+b) et (x+y)
...

[norah]

merci beaucoup Pascal16, je commençais à désespérer!
par contre faut-il justifier la remarque ou est-ce que c'est une règle?

[pascal16]

il faut que tu justifie proprement que (1+2+3+...+(x+y) ) -(1+2+3+...+(a+b) ) ne peut pas être plus petit que b sauf s'ils sont égaux.
on sait que c'est positif
donc laquelle des listes est la plus longue ?
par quoi peut-on la minorer ?
et ensuite il faut justifier que c'est plus grand que b.

[PS] trouve ça et je te donne une version propre

[Ben314]

Salut,
On peut aussi s'en sortir sans la "remarque astucieuse" :
On considère deux couples (a,b) et (x,y) de NxN tels que f(x,y)=f(a,b), c'est à dire tels que

Supposons que (strict).
Vu que ce sont des nombres entiers, on a donc (large) et on en déduit que :

Ce qui est en contradiction avec l'hypothèse selon laquelle f(x,y)=f(a,b).
Pour des raison de symétrie, l'hypothèse conduit elle aussi à une contradiction donc .
L'hypothèse nous dit alors que et, vu que , c'est qu'on a aussi

[norah]

merci Pascal16 mais comme nous n'avons pas encore étudié les listes encore moins leur minorant, alors j'ai utilisé la soustraction, la comparaison des carrés mais ça n'a rien donné donc je ne sais pas comment arriver la contradiction...
quant à Ben314, merci pour la technique sans "la remarque astucieuse" !

[pascal16]

Recherche de l'antécédent d'un entier a

soit Sn la suite définie par

Sn est strictement croissante, donc il existe un unique p tel que Sp<= a <Sp+1

cherchons x et y, entiers naturels tels que :
y = a - Sp
x+y = p
(x;y) est l'antécédent de a.

[PS] Sn=n(n+1)/2, p=partie entière (2racine(a)) pour a 'grand'.

[norah]

mais nous n'avons même pas étudié les suites donc il ne serait pas correcte de donner une réponse utilisant des connaissances que nous ne sommes pas censés avoir..

[chan79]

salut
Un dessin pour visualiser cette injection de dans qui est d'ailleurs une bijection.
Les éléments de sont numérotés, en rouge, diagonale après diagonale.
On visualise et on démontre facilement que:


soit

[norah]

merci Chan79, la méthode graphique permet en effet d'y voir un peu plus clair!

[chan79]

salut
je rajoute une question:
Trouver le couple d'entiers (a,b) tel que f(a,b)=20172017

[Tiruxa47]

Bonjour

Si on pose n=x+y
On cherche le plus grand entier n tel que n(n+1)/2 <=20172017
c'est à dire tel que n²+n - 40344034 soit négatif
Le delta est positif les solutions sont des signes contraires, il faut donc prendre la partie entière de la solution positive, elle vaut 6351, n =6351.
On a 6351*6352 = 20170776
On en déduit y = 20172017-20170776=1241
et x=n-y=5110
Donc c'est (5110,1241)