Généralisation sur les opérations de suites (partie II)

[Dwenfa]

Bonsoir à tous,

En ce moment, je suis en plein dans les opérations de fonctions... et j'avoue que je galère un peu et je vous demande donc votre demande, afin de confirmer / infirmer mes propositions

1) Soient f et g deux fonctions ayant, en x0, les limites respectives +∞et 0 . Alors :
— La limite de f*g en x0 est +∞ (Faux, car c'est une forme indéterminée)
— La limite de f*g en x0 est 0 (Faux,même argumentation)
— La limite de f*g en x0 est -∞ (Faux, idem)
— La limite de f*g en x0 est 1 (Faux, idem)
— On ne peut pas donner, en toute généralité, la limite de f*g en x0 (Vrai, on peut prendre par exemple f(x)= cos(x) et g(x)=x, or f*g n'a pas de limite, me semble-t-il)

2) Soient fet g deux fonctions ayant, en x0, les limites respectives +∞ et 0. Alors :
— La limite de f/g en x0 est +∞ (Faux car on peut supposé g(x)=0)
— La limite de f/g en x0 est 0 (Faux, idem)
— La limite de f/g en x0 est -∞ (Faux, idem)
— La limite de f/g en x0 est 1 (Faux, idem)
— On ne peut pas donner, en toute généralité, la limite de f/g en x0 (vrai, si g(x)=0 ou g(x)≠0)

Pouvez-vous me dire si mes réponses sont justes svp ? Car je n'ai pas la correction de cet exercice.
Merci par avance

[Lostounet]

1) Soient f et g deux fonctions ayant, en x0, les limites respectives +∞et 0 . Alors :
— La limite de f*g en x0 est +∞ (Faux, car c'est une forme indéterminée)
— La limite de f*g en x0 est 0 (Faux,même argumentation)
— La limite de f*g en x0 est -∞ (Faux, idem)
— La limite de f*g en x0 est 1 (Faux, idem)
— On ne peut pas donner, en toute généralité, la limite de f*g en x0 (Vrai, on peut prendre par exemple f(x)= cos(x) et g(x)=x, or f*g n'a pas de limite, me semble-t-il)
)

Bonsoir,
Attention au fait que ton contre-exemple n'en est pas un. Car f*g(x)=x*cos(x) et ce produit a bien une limite lorsque x tend vers x0 puisque la fonction donnée est continue en tout point x0. (Ici x0 n'est pas égal à l'infini, donc a priori on n'a pas a se soucier de ce cas).


A mon avis.. ce sont les questions d'avant qui permettent de voir qu'on ne peut pas conclure. Tu peux essayer de construire f et g pour observer des limites différentes de f*g en x0.

[Dwenfa]

1) Soient f et g deux fonctions ayant, en x0, les limites respectives +∞et 0 . Alors :
— La limite de f*g en x0 est +∞ (Faux, car c'est une forme indéterminée)
— La limite de f*g en x0 est 0 (Faux,même argumentation)
— La limite de f*g en x0 est -∞ (Faux, idem)
— La limite de f*g en x0 est 1 (Faux, idem)
— On ne peut pas donner, en toute généralité, la limite de f*g en x0 (Vrai, on peut prendre par exemple f(x)= cos(x) et g(x)=x, or f*g n'a pas de limite, me semble-t-il)
)

Bonsoir,
Attention au fait que ton contre-exemple n'en est pas un. Car f*g(x)=x*cos(x) et ce produit a bien une limite lorsque x tend vers x0 puisque la fonction donnée est continue en tout point x0. (Ici x0 n'est pas égal à l'infini, donc a priori on n'a pas a se soucier de ce cas).


A mon avis.. ce sont les questions d'avant qui permettent de voir qu'on ne peut pas conclure. Tu peux essayer de construire f et g pour observer des limites différentes de f*g en x0.

Merci pour votre réponse, effectivement ce sont des questions posées au préalabls qui me permettent de venir à cette conclusion que justement on ne peut pas conclure pour le produit.

Cependant, pour ce qui est du quotient, après relecture, il me semble que cela tend vers +∞, confirmez-vous cela ?

Merci pour votre aide

[Lostounet]

Oui, le quotient infini/0 ne pose pas de problème.
Tu divises une quantité grande en petites petites parties. Le résultat sera infini.

Alors que multiplier un nombre de plus en plus grand par un autre de plus en plus petit (tendant vers 0).. ben on ne peut répondre que " ça dépend combien grand et combien petit": forme indéterminée.

[Lostounet]

Par exemple vois-tu un exemple où f tend vers +infini, g tend vers 0 avec f*g qui tend vers 1 lorsque x tend vers x0?

En fait ce phénomène porte un nom (quand une fonction n'est pas supposée être définie en x0 car son dénominateur tend vers 0 mais que le numérateur arrive en quelque sorte à compenser ce défaut). C'est un "prolongement par continuité".