Généralisation à partir d'égalités

[Dinozzo13]

Bonsoir, j'ai une petite question à poser.
J'ai vu que, par exemple, on a, pour tout points du plan :
-
-

Et après j'en tire la conclusion que pour tout point M du plan :
.
Ou encore plus simplement, si je nomme la fonction :
alors on a pour tout :


Est-ce correct ?
Si oui, comment le prouver ?
MErci d'avance :++:

[Skullkid]

Avec A, B, C et G les sommets du fameux carré d'as dans et la ième décimale de ?

[Ben314]

Ce n'est pas tout à fait correct.
Tout d'abbord, pour les deux premières, il serait de bon ton de préciser :

... pour tout points et tout point du plan :
-
-

Ensuite, comment fait tu pour passer d'égalités vectorielles à des égalités numériques :
est un vecteur alors que est un réel et, lorsque , cela n'implique pas que , ni que .

En fait l'égalitée :

.

est vrai mais pour un seul point (contrairement aux premières) à savoir le barycentre des (et évidement, il faut que la somme des soit non nulle, sinon une autre "formule" apparait...)

[Dinozzo13]

Oh oui ! pardon, il n'y a aucun vecteur, ce sont des carrés :
Et oui, j'ai oublié de préciser que la somme des ne doit pas être nulle.

[Dinozzo13]

Donc voici ce que j'ai établis :
les exemples étant :

-
-

Je suis parvenu à la conclusion que :
Pour tout point M du plan :
, où la famille de point et le point sont connus.
Mais je ne sais pas comment le prouver :triste: , je le vois juste :++: .
Je définis ensuite, pour faciliter l'écriture de cette relation, la fonction par :

On remarque, que si alors et donc que pour tout point :

Et aussi :
Si alors et donc ne dépend pas de et est par conséquent constant.

[Ben314]

La preuve est assez simple. Il suffit d'écrire que, pour tout et tout :
( carré de la distance de à )
( carré de la norme du vecteur )
( produit scalaire du vecteur avec lui même )
( relation de Chasle )
( linéarité du produit scalaire )

On en déduit que, si on pose et alors on a, (toujours pour tout et tout ) :

Arrivé à ce point, deux cas se présentent :
1) Si , alors on peut prendre pour le barycentre des points pondérés de façon à avoir et la formule devient :
2) Si alors le vecteur ne dépend pas du point (vérifie le) et la formule devient : (valable pour tout et tout )

P.S. Dans le deuxième cas, à part si (ce qui n'est pas le cas en général), la fonction n'est pas constante.