Probabilite densite loi

[aidemathematique]

Bonsoir, pouriez vous m aider pour cet exo :
soit X une variable aleatoire admettant la densite suivante fX(x)= exp(x) pour x dans [-1,0] , exp(-x) pour x>=1 et 0 sinon, determiner la loi de Y= exp(-|X+1/2|)
j ai fait : P(Y=k) si P( -|X+1/2|=ln(k)) mais je ne sais pas comment continuer ( notamment pour se debarasser de la valeur absolue)

[pascal16]

pourquoi pas :
P( -|X+1/2|=ln(k))
pour X<= - 1/2 , P( X+1/2=ln(k))
pour X>= - 1/2 , P( -X-1/2=ln(k))

[Ben314]

Salut,
Le petit problème, c'est que tu as affaire à une loi à densité (donc pas du tout une loi discrète) donc toute les proba de la forme p(X=cst) sont nulles et tu va clairement trouver la même chose pour p(Y=cst) vu qu'il semble plus que probable que Y soit elle même une loi à densité.
Et évidement, ça te donne à peu prés aucune information concernant la loi Y.

Bref, si tu veut avoir des proba. non nulles, avec une loi à densité, il faut évidement partir sur des truc du style p(Y appartient à [a,b]) et le plus standard (histoire d'avoir qu'une seule variable c et pas deux a et b) c'est de partir sur du p(Y inférieur ou égal à c) qui, comme par hasard, porte un nom...

[aidemathematique]

C est a dire P(-|X+1/2| <= c) ? C est la fonction de repartition, mais cela suffit donc a repondre a la qurstion?

[Ben314]

C est a dire P(exp(-|X+1/2|) <= c) ? C est la fonction de repartition, mais cela suffit donc a repondre a la qurstion?

Plus ou moins : la question "donner la loi de ..." est toujours un peu flou : sous quelle "forme" doit on donner la loi ?
A mon avis, ce qu'on attend de toi, c'est non seulement que tu donne la fonction de répartition de Y, mais aussi que tu donne la fonction de densité de Y (si elle existe) : vu que la loi X de l'énoncé elle est définie via sa fonction de densité, ça semble raisonnable de donner la réponse sous la même forme.

[aidemathematique]

C est a dire P(|X+1/2|<=-lnk) mais comment se "debarasser " de la valeur absolue?
on peut faire P(lnk-1/2<=X<=-lnk-1/2) ?
Mais alors il faut faire comment pour calculer la densite qui est la derivee de la fonction de repartition?

[Ben314]

C est a dire P(|X+1/2|<=-lnk) mais comment se "debarasser " de la valeur absolue?
on peut faire P(lnk-1/2<=X<=-lnk-1/2) ?
Mais alors il faut faire comment pour calculer la densite qui est la derivee de la fonction de repartition?

Déjà, rien que là, c'est déjà 3/4 faux (mais à 1/4 juste...) vu que partant de le premier truc que tu doit obligatoirement dire, c'est que, si , la proba en question est nulle (car exp(???) n'est jamais négatif), c'est à dire que G(k)=0 pour .
Ensuite, et bien sûr uniquement après avoir écrit en noir sur blanc que tu considérait mainteneant le cas k>0, tu peut écrire que (car la fonction est croissante sur ]0,+oo[) puis que (faudrait songer à retourner au collège pour y (re)voir que lorsqu'on multiplie une inégalité par un réel négatif, elle "change de sens")
Ensuite, de nouveau disjonction de cas vu que, si une inégalité de la forme est forcément vrai, quelque soit le truc dans la valeur absolue.
Puis, si , il faut voir comment "se traduit" en terme de le fait que c'est à dire réfléchir 15 seconde pour trouver l'ensemble des solution d'une inéquation de la forme avec une constante positive.

L'objectif de tout ça doit évidement être parfaitement clair dès le départ : vu ce qu'on sait sur X (i.e. ce qu'on connait, c'est sa densité), il faut obligatoirement se ramener à une (ou des) proba de la forme p(A<X<B) vu que ça on pourra dire que c'est l'intégrale de A à B de la fonction de répartition de X et que c'est la seule chose qu'on sait concernant la loi X.

[aidemathematique]

Les solutions sont Y<lnk ou Y > -lnk c est a dire X<lnk-1/2 ou X>-lnk-1/2 ?