La division euclidienne

[lucy34]

Bonjour, j'aurai besoin d'un peu d'aide pour un de mes exercices sur la division euclidienne. Merci d'avance. L'exercice est le suivant :
Pour dire l'âge de son père à ses amis, le jeune Mathieu leur soumet cette énigme : "L'âge de mon père s'écrit avec un nombre tel que :
-si on divise ce nombre par 2, le reste de la division est 1;
-si on divise par 3, le reste est 2;
-si on divise par 4, le reste est 3;
-si on divise par 5, le reste est 4;
-si on divise par 6, le reste est 5."
Quel est l'âge du père de Mathieu ?

J'ai essayé de résoudre l'exercice en faisant cela :
on note" a" l'âge du père de Mathieu
alors
a = 2q + 1
a = 3r + 2
a = 4s + 3
a = 5t + 4
a = 6u + 5

Mais après je ne sais pas quoi faire. Quelqu'un pourrait m'indiquer la méthode ?
Encore merci d'avance !

[pascal16]

la méthode générale est ici :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_des_restes_chinois

la méthode valable dès le collège est de prendre un tableur et de vérifier les congruences. Il suffit de tester les nombres de 0 à 122 car la pyramide des ages va de 0 à 122ans.


version 1S ;
-si on divise par 6, le reste est 5."
-si on divise par 3, le reste est 2;
on remarque que la seconde équation est forcément vérifiée si la première l'est (à toi de le prouver)
on peut donc la supprimer

-si on divise par 4, le reste est 3;
-si on divise ce nombre par 2, le reste de la division est 1;
on remarque que la seconde équation est forcément vérifiée si la première l'est (à toi de le prouver)
on peut donc la supprimer

du coup, il ne reste que 3 équations et on peut en regrouper 2 modulo 12.

variante, on travaille modulo 12, on regroupe directement les solutions communes pour la division par 2,3,4 et 6.

reste finalement que 2 équations modulo 12 et 5, qui ont la bonne idée d'être premiers entres eux et donc résolvable sans théorie compète du théorème chinois. De plus, on sait alors que s'il y a une solution, elle est au plus modulo 12*5= 60.

[Ben314]

Salut,
Et si on prend l'age du père plus 1, quand on divise par 2, quel est le reste ?
et par 3 ? et par 4 ? et par 5 ? et par 6 ?
Bilan : Que peut on dire de l'age du père plus 1 ?

[Pseuda]

Bonjour,

Sinon, tu peux remarquer aussi par exemple que"le reste de la division euclidienne de n par 6 est égal à 5" s'écrit : n=6k+5 ou encore n=6k'-1 (avec k'=k+1).

Dès lors n+1 est divisible par ..... ?

(solution de Ben314 dite autrement).

[lucy34]

Merci beaucoup pour votre aide! Après de nombreuses heures de réflexion j'ai enfin trouvé la réponse; Le père de Mathieu à finalement 59 ans ! Et encore Merci !