Dm sur les PGCD

[flo14]

Bonjour,

voila notre professeur de spécialité maths nous a donné un dm pour les vacances sur les PGCD. Il y a deux exercices que je n'arrive pas à faire. Voici les énoncés :
Exercice n°1

Le nombre n est un entier naturel non nul.On pose : a = 4n+3, b = 5n+2
et on note d le PGCD de a et b.
1. Donner la valeur de d dans les trois cas suivants : n = 1, n = 11, n =
15.
2. Calculer 5a ;)4b et en déduire les valeurs possibles de d.
3. a. Déterminer les entiers naturels n et k tels que 4n +3 = 7k.
b. Déterminer les entiers naturels n et k tels que 5n +2 = 7k.
4. Soit r le reste de la division euclidienne de n par 7.
Déduire des questions précédentes la valeur de r pour laquelle d
vaut 7.
Pour quelles valeurs de r, d est-il égal à 1 ?

Exercice n°2

n étant un entier relatif quelconque, on considère les entiers relatifs a et b définis par
a=npuissance3-2n+5 ; b=n+1

1. Montrer que PGCD(a;b)=PGCD(b,6).
Pour quelles valeurs de n a-t-on PGCD(a,b)=3?

2.Determiner n pour que le nombre a/b soit un entier relatifs.

Merci d'avance pour vos réponses.

[Imod]

Il faudrait quand même nous dire ce que tu as fait et ce qui te pose problème .

Imod

[yvelines78]

bonjour,
sous réserve, il y a longtemps que je n'aipas fait ça!!!
1)
quand n=1, a=7 et b=7, PGCD(a;b)=7
quand n=11, a=47 et b=55, PGCD(a;b)=1
quand n=15, a=63 et b=77, PGCD(a;b)=7

2)PGCD(a;b)=PGCD(5a; 4b)=d
5a-4b=5(4n+3)-4(5n+2)=7
PGCD(a;b)=7

d peut prendre la valeur 1 ou 7

3)4n+3=7k
k=4n+3/7
pour que k soit un entier, il faut que (4n+3) soit un multiple de 7 et ce multiple de 7 -3 doit être un multiple de 4
n peut prendre les valeurs de 1; 7+1=8; 8+7=15; 15+7=22; ............

5n+2=7k
k=5n+2/7, 5n+2 est unmultiple de 7, et ce multiple -2 est un multiple de 5
n peut prendre les valeurs de 1; 1+7=8; 8+7=15; 15+7=22; ...........

4)n=1, 1/7=0+1
n=8, 8/7=1*7+1
n=15, 15/7=7*2+1
n=22, 22/7=7*3+1
n=29, 29/7=7*4+1

le reste r=1