Pour tout réels positifs ou nuls a,b pour tout p>1 tel que :
Montrer que :
J'ai pas d'idée...
Inégalité
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Re: Inégalité
par NicoTial » 11 Aoû 2017, 13:32
Tu as plusieurs méthodes :
-la première tu fais une étude de fonction basique n fixant l'un des paramètres comme étant une inconnue.
-la deuxième méthode utilise la convexité (respectivement la concavité) de la fonction exponentielle (respectivement de la fonction logarithme)... Je préfère personnellement utilisé la fonction exponentielle...
Donc a et b étant positifs, tu peux dire qu'ils sont l'image à travers l'exponentielle, de x et y par exemple... essaye de voir avec ça...
-la première tu fais une étude de fonction basique n fixant l'un des paramètres comme étant une inconnue.
-la deuxième méthode utilise la convexité (respectivement la concavité) de la fonction exponentielle (respectivement de la fonction logarithme)... Je préfère personnellement utilisé la fonction exponentielle...
Donc a et b étant positifs, tu peux dire qu'ils sont l'image à travers l'exponentielle, de x et y par exemple... essaye de voir avec ça...
Re: Inégalité
par mehdi-128 » 11 Aoû 2017, 14:19
L'indication parle d'utiliser le logarithme.
Mais quelle est la propriété utile de la concavité du logarithme à utiliser ?
Mais quelle est la propriété utile de la concavité du logarithme à utiliser ?
Re: Inégalité
par NicoTial » 11 Aoû 2017, 14:23
si ta définition est que -f est convexe, alors dit moi ce qu'est une fonction convexe...
Re: Inégalité
par mehdi-128 » 11 Aoû 2017, 14:51
On a : =ln(a)+ln(b)=\frac{1}{p}ln(a^p)+\frac{1}{q}ln(a^q))
Une fonction convexe f c'est :
Pour tout t dans [0,1] :y) \leq tf(x) + (1-t)f(y))
Je dois prendre=-ln(x))
?
Une fonction convexe f c'est :
Pour tout t dans [0,1] :
Je dois prendre
Re: Inégalité
par mehdi-128 » 11 Aoû 2017, 17:22
On prend : 
alors 
Et :
et 
Alors comme
on a : 
Aussi :
Comme la fonction ln est concave alors -ln est convexe.
Si on pose : :  \leq \frac{1}{p}f(a^p)+\frac{1}{q}f(b^q))
Alors : \leq -\frac{1}{p}ln(a^p)-\frac{1}{q}ln(b^q))
Donc en multipliant par -1 ça change le signe de l'inégalité: \geq \frac{1}{p}ln(a^p)\frac{1}{q}ln(b^q))
Par croissance de la fonction ln :
Et :
Alors comme
Aussi :
Comme la fonction ln est concave alors -ln est convexe.
Si on pose :
Alors :
Donc en multipliant par -1 ça change le signe de l'inégalité:
Par croissance de la fonction ln :
Re: Inégalité
par mehdi-128 » 11 Aoû 2017, 18:10
J'ai oublié le cas a=0 ou b=0 ...
Exemple si a=0 il faut montrer :
C'est évident car :
et 
Exemple si a=0 il faut montrer :
C'est évident car :
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