Inégalité
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mehdi-128
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par mehdi-128 » 11 Aoû 2017, 14:29
Bonjour,
Pour tout réels positifs ou nuls a,b pour tout p>1 tel que :
Montrer que :
J'ai pas d'idée...
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NicoTial
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par NicoTial » 11 Aoû 2017, 14:32
Tu as plusieurs méthodes :
-la première tu fais une étude de fonction basique n fixant l'un des paramètres comme étant une inconnue.
-la deuxième méthode utilise la convexité (respectivement la concavité) de la fonction exponentielle (respectivement de la fonction logarithme)... Je préfère personnellement utilisé la fonction exponentielle...
Donc a et b étant positifs, tu peux dire qu'ils sont l'image à travers l'exponentielle, de x et y par exemple... essaye de voir avec ça...
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mehdi-128
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par mehdi-128 » 11 Aoû 2017, 15:19
L'indication parle d'utiliser le logarithme.
Mais quelle est la propriété utile de la concavité du logarithme à utiliser ?
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NicoTial
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par NicoTial » 11 Aoû 2017, 15:20
quelle est la définition de la concavité ?
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NicoTial
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par NicoTial » 11 Aoû 2017, 15:23
si ta définition est que -f est convexe, alors dit moi ce qu'est une fonction convexe...
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mehdi-128
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par mehdi-128 » 11 Aoû 2017, 15:51
On a :
Une fonction convexe f c'est :
Pour tout t dans [0,1] :
Je dois prendre
?
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NicoTial
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par NicoTial » 11 Aoû 2017, 15:58
oui c'est ça, tu es presque à la conclusion...
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mehdi-128
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par mehdi-128 » 11 Aoû 2017, 18:22
On prend :
alors
Et :
et
Alors comme
on a :
Aussi :
Comme la fonction ln est concave alors -ln est convexe.
Si on pose :
:
Alors :
Donc en multipliant par -1 ça change le signe de l'inégalité:
Par croissance de la fonction ln :
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NicoTial
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par NicoTial » 11 Aoû 2017, 18:28
Parfait !
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mehdi-128
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par mehdi-128 » 11 Aoû 2017, 19:10
J'ai oublié le cas a=0 ou b=0 ...
Exemple si a=0 il faut montrer :
C'est évident car :
et
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