Variations d'une suite

[Anosen]

Bonjour, je ne comprend pas mon cours sur un point pourtant simple en apparence :

Avec l'exemple de ,
je cherche les variations de (Un).

J'ai donc dans mon cours la possibilité d'utiliser 3 formules :
-
-
-

J'utilise et trouve


C'est à partir de là que ça devient flou. En théorie je devrais pouvoir dire que dans ce cas :
- donc pour tout , (Un) est croissante
ou
- donc pour tout , (Un) est décroissante

Mais comment dire que est ou ??

Je me suis procuré le corrigé, et après avoir fait ce calcul, on me reporte sur la question d'avant du même exercice où l'on résolvait dans l'ensemble N, et on me dit que dans cette question et que donc la suite est croissante à partir de n = 3.

Du coup quel intérêt de calculer avec si c'est pour utiliser l'exo d'avant ?


Merci pour votre aide

[Lostounet]

Bonjour,

Il faut, pour la méthode U(n+1) - U(n) regarder le signe de U(n+1)- U(n) en fonction de n. Si on trouve un nombre positif, c'est que U(n+1) - U(n) est > 0 donc U(n+1) > U(n). Ne mélange pas avec U(n+1)/U(n) > ou < 1 (ici y'a pas de 1, on regarde juste le signe !)

Ici tu as obtenu

Pour quels n cette quantité est positive?

2^n est positif quel que soit n
n^2(n+1) est toujours positif
Donc le signe de cette expression est celui de
= 2n^2 - (n^2 + 2n + 1) =

Ceci est un trinôme du second degré,: si tu étudies cette fonction, tu vois que quand x dépasse 2.5, ie x > 2.5, la fonction devient positive, donc pour n >= 3 la quantité n^2 - 2n - 1 est positive donc aussi donc aussi est positive donc U(n+1) > U(n) pour n > 3

[ilies77]

Salut, Il aurait été plus simple d'utiliser "Un/Un+1" non?

Tout en commençant par montrer que Un+1 n'est jamais égal à 0 (sinon on ne peut diviser par 0 comme tu sais) car

(2^n+1/n^2) = 0 si et seulement si 2^n+1 = 0 et donc jamais , et encore moins avec n > 3

(Mais la méthode donnée juste au dessus est très bien expliquée donc tiens en compte plutôt que de la mienne qui est avant tout une suggestion plutôt qu'une réponse )

[Anosen]

Merci pour votre réponse rapide,

J'ai compris maintenant, j'ai fais une erreur de copie sur mon cours je pense puisque j'avais noté de comparer Un+1 - Un à 1 au lieu de 0, j'ai mélangé les deux formules...

Compris aussi du coup la manière de trouver le signe de l'expression trouvée par Un+1 - Un.

J'ai aussi tenté avec Un+1/Un comparé à 1 pour voir, et je tombe sur
Je cherche donc quand

Je trouve donc que les racines du trinôme sont et
Avec n>0 le polynôme est >0 pour donc pour

Ça revient exactement au même que ce que tu as fais Loustounet avec une méthode différente, c'était juste pour si d'autres personnes avaient la même question que moi

Quant à ton message ilies77 je pense que tu t'es trompé.

Tout en commençant par montrer que Un+1 n'est jamais égal à 0 (sinon on ne peut diviser par 0 comme tu sais) car

(2^n+1/n^2) = 0 si et seulement si 2^n+1 = 0 et donc jamais , et encore moins avec n > 3

Un+1 ne vaut pas (2^n+1/n²) mais du coup (2^n+1/(n+1)²) car Un = 2^n/n²