Algèbre linéaire ( un exercice )

[Alpeys]

Bonjour à tous, voilà l'énoncé:
Soit n supérieur ou égal à 1. On note (E1....En) la base canonique.

Pour i = 1,...n-1 , on pose: Ci= Ei - E(i+1)
et Cn=En-E1.

1/ Montrer que la famille n'est pas libre.
Facile, somme des Ci=0 donc combinaison non triviale qui vaut 0.

2/ Montrer que (C1,..,C(n-1)) libre, c'est fait, sans problème par itération.

3/ Montrer que: Vect(C1,...Cn)={ les vecteurs x tels que Somme(Xi)=0}

Je bloque ici: j'ai montré que Vect(C1,...Cn) = Vect(C1,...,Cn-1) de dimension n-1.
Ensuite, j'ai établi que Vect(C1,...Cn-1) engendre un ensemble P, et que cet ensemble P est de la même dimension
que l'ensemble H défini par: { les vecteurs x tels que Somme(Xi)=0} = n-1

Et ensuite je n'arrive pas à montrer que P est inclus dans H, ce qui achèverait la démonstration.
Cordialement,
Alpeys.

[zygomatique]

salut



alors

[Ben314]

Salut,

Ensuite, j'ai établi que Vect(C1,...Cn-1) engendre un ensemble P, et que cet ensemble P est de la même dimension que l'ensemble H défini par: { les vecteurs x tels que Somme(Xi)=0} = n-1
Et ensuite je n'arrive pas à montrer que P est inclus dans H, ce qui achèverait la démonstration.

Normalement, y'a pas photo, la "logique" de l'algèbre linéaire ça te dit que, pour montrer que vect(? , ? , . . . ?) est contenu dans un s.e.v. H, ben il suffit de montrer que les ? sont dans H car H est stable par combinaison linéaire.
Et ici, ben c'est évident vu que 1-1=0.

[Pseuda]

Bonjour,

En effet. H ss-ev contenant tous les Ci (au vu de leurs coordonnées), et Vect (C1, ..., Cn-1) étant le plus petit ss-ev contenant tous les Ci, donc Vect(C1, ..., Cn-1) est contenu dans H.