Fonction Exponentielle

[Aurelien]

Bonjour a tous,
j'ai un DM à faire, je pense avoir réussi les premières question mais la suite je ne m'en sort pas!

Voila le sujet:

n est un entier naturel supérieur ou égal à 2
On définit la fonction fn sur R par fn(x)=x^n * exp(x)
On appelle Cn la représentation graphique de fn.

1 Déterminer les limites de fn aux bornes de son ensemble de définition. En déduire d'eventuelles asymptotes à Cn.
2 Démontrer que, pour tout x réel et tout entier n supérieur ou égal à 2, f'n(x)=(x+n)*x^(n-1)*exp(x)
3 etudier le signe de f'n(x) et en déduire les variations de fn.
4 a Démontrer que toutes les courbes Cn ont deux points communs. Préciser leurs coordonnées.
b Démontrer qu'en l'un de ces points, toutes les courbes ont une tangente commune.
5 Etudier la position relative des courbes Cn et Cn+1

1 Alors pour les limites j'ai trouver que lorsque x tend vers moins l'infini = 0, car c'est une propriété du cour
et lorsque x tend vers plus l'infini = + l'infini car exp(x) tend vers + l'infini et x^n aussi car n est supérieur ou égal à 2.
2 J'ai dérivée avec la forme u*v et je troouve (nx^(n-1))exp(x)+x^n*exp(x)
Mais je ne voix pas comment obtenir la forme demandé.

Après je bloque j'ai fait quelques essais mais sans succées.
J'attend votre aide, Merci.

[annick]

Bonjour,
ta dérivée est juste, il y a maintenant quelques mises en facteur à effectuer pour obtenir la formule voulue :

f'n(x)= (nx^(n-1))exp(x)+x^n*exp(x)=

e^x(nx^(n-1)+x^n))=

On peut écrire que x^n=x^(n-1)*x^1
On peut alors factoriser par x^(n-1) :

f'n(x)=(e^x)(x^(n-1))(n+x) ce qui est bien la formule cherchée.

[Aurelien]

D'accord merci j'ai trouvé ... mais ensuite pour étudier les variations il faut utiliser cette nouvelle formule ?

[annick]

Effectivement car maintenant tu as un produit de facteurs, ce qui n'était pas le cas avant.

[Aurelien]

D'accord donc ...
exp(x) est strictement positif
x^(n-1) esy aussi strictement positif car n est supérieur ou égale a 2
x+n est de la forme ax+b avec a=1 et b=n et s'annule en -b/a = -n ??

dans ce cas fn est strictement croissant jusque -n puis strictement décroissant

C'est ça ? Je ne suis pas sure que cela soit juste de dire que x+n est de la forme ax+b

[annick]

D'accord donc ...
exp(x) est strictement positif
x^(n-1) est aussi strictement positif car n est supérieur ou égale a 2
x+n est de la forme ax+b avec a=1 et b=n et s'annule en -b/a = -n ??

dans ce cas fn est strictement croissant jusque -n puis strictement décroissant

C'est ça ? Je ne suis pas sure que cela soit juste de dire que x+n est de la forme ax+b

Je ne suis pas d'accord. Par exemple n=4 et x=-1, cela donne (-1)^3=-1, négatif.
Pour (n-1) pair, ça marche, mais pour (n-1) impair et x<0, c'est faux. Il faut donc distinguer deux cas, je pense.

Sinon, x+n s'annule bien pour x=-n. Quand x+n est-il >0 ? <0 ?