Algèbre linéaire - Urgent

[mariedadsi]

Bonsoir à tous, voilà mon problème:
J'ai un exercice à faire et je ne sais ni par où commencer ni à quoi est ce que je dois aboutir. Aillant un professeur préférant discuter de football à la place de nous enseigner correctement ce chapitre, je me retrouve donc bloquer devant cet exercice après de bonnes heures de réflexion.
Énoncé: Discutez des solutions des systèmes suivants en fonction des valeurs des paramètres réels a et b.
(S1)

(S2)

Je suis complétement perdue. Merci d'avance pour les réponses et l'aide que vous m'apporterez.

[zygomatique]

salut

pour le premier :

si x + y = 4 et x - y = a que vaut 2x ?


pour le deuxième :

que vaut L1 - L2 + L3 ?

[mariedadsi]

Je pense que si je fais la somme de ces deux équations j'obtiendrai 2x donc:
x+y+x-y=4+a
=> 2x=4+a

Ensuite si je fais L1 - L2 +L3 cela me fait:
x+t=2a-b

Je ne suis sur de rien ... ☹

[mathelot]

pour le système (S1) qui comporte trois égalités; on note l1,L2,L3 ces égalités.

les lignes L1 et L2 permettent de calculer x et y.
Ensuite on remplace x et y par leurs valeurs dans l'équation L3
ce qui donne une condition sur a.

Pour le système S2, le rang du système est inférieur à 4,
ce qui nécessite une relation entre a et b pour qu'il ait des solutions.

Commence à additionner les quatre lignes, ce qui donne une valeur pour x+y+z+t


N'hésite pas à poser des questions...

[mathelot]

Énoncé: Discutez des solutions des systèmes suivants en fonction des valeurs des paramètres réels a et b.
(S1)

peux tu déja résoudre ce système ?

[mariedadsi]

Bonsoir Mathelot,
Alors, pour (S1) j'obtiens: x= 21/5, y=-1/5 et a=22/5
Ensuite pour (S2) en additionnant L1+L2+L3+L4 j'obtiens: x+y+z+t=a+b
Mais comment poursuivre? Comment répondre à l'énoncé:"Discutez des solutions des systèmes..."? Qu'entendent ils par "DISCUTEZ" ?
Merci d'avance

[mathelot]

Bonsoir Mathelot,
Alors, pour (S1) j'obtiens: x= 21/5, y=-1/5 et a=22/5
Qu'entendent ils par "DISCUTEZ" ?
Merci d'avance

est un paramètre à un degré de liberté.
on discute ainsi le système (S1):

si a=22/5 alors le système (S1) admet (21/5, -1/5) comme solution.
si a est différent de 22/5 alors le système (S1) n'admet pas de solution.

[mariedadsi]

D'accord pour le (S1) j'ai compris mais en ce qui concerne le (S2) ?

[mathelot]

Concernant le système (S2):

On additionne les quatre égalités, on trouve:

x+y+z+t=a+b
comme x+y=a
z+t=b
et
z+t=a
donc une condition nécessaire pour qu'il y ait des solutions est "a=b"

[mariedadsi]

Ma question paraitra surement idiote mais j'ai du mal à comprendre comment on trouve à partir de ce que vous venez de dire précédemment que " une condition nécessaire pour qu'il y ait des solutions est "a=b" "

[mathelot]

finalement on résout:

(S2)

[mathelot]

comment on trouve à partir de ce que vous venez de dire précédemment que " une condition nécessaire pour qu'il y ait des solutions est "a=b" "

on additionne les quatre égalités, on trouve:
x+y+z+t=a+b
comme x+y = a
z+t=b

mais on a aussi
z+t=a

donc a=b

[mathelot]

le système S2 est de rang 3.
ça signifie qu'en plus du paramètre on doit prendre une inconnue z comme paramètre

On obtient


(tautologie)


n'hésite pas à poser une question...

[mariedadsi]

De rang 3 comment ça ?

[mathelot]

De rang 3 comment ça ?

soit
f(x;y;z;t)=x(1;0;0;1)+y(1;1;0;0)+z(0;1;1;0)+t(0;0;1;1)



Le système S2 demande de déterminer l'image réciproque par f du vecteur colonne (a;a;a;a)
où f(x,y,z,t)=xf(1;0;0;0)+yf(0;1;0;0)+zf(0;0;1;0)+tf(0;0;0;1)
Le rang est la dimension du sous espace vectoriel engendré par f(e_1),f(e_2),f(e_3),f(e_4)
où f(e_i)=f(0;..1;..0) avec un "1" en ième place.
L'ensemble des solutions a une structure d'espace affine.les solutions sont la somme
d'une solution particulière, içi(0;a;a;0) et d'élément du noyau de f.
on sait que


ici dim Ker(f)=1
Ker(f) a pour base (1;-1;1;-1)
f(R^4) a pour dimension 3.

[zygomatique]

x + y = 4
x - y = a

donc 2x = 4 + a <=> x = 2 + a/2

donc x - y = a <=> y = 2 - a/2


x + 6y = 3 <=> 2 + a/2 + 6(2 - a/2) = 3 <=> ... <=> a = ...