Existence d'une Base orthonormées

[jp75014]

Bonjour,
Je bloque sur cet exercice. Je parviens à faire le 1 en considérant une symétrie ortho mais ça me parait trop compliqué. Et je n'arrive à rien sur la question 2.
Merci d'avance pour vos réponses ou pistes.
J.P.

On considère un espace euclidien de dimension n.
1. Soit x un vecteur de norme "racine de n".
Montrer qu'il existe une base orthonormée de E dans laquelle les coordonnées de x sont (1,...,1).
2. Si norme de x vaut racine de n, norme de y vaut racine de 1+2^2+...+n^2 et (x|y)=1+2+...+n,
montrer l'existence d'une BON de E dans laquelle les coord. de x sont (1,1,..,1) et celle de y: (1,2,...,n).

[zygomatique]

salut

dans une telle base (e_1, e_2, ..., e_n) alors on a

(x, e_1) = 1
(x, e_2) = 1
...
(x, e_n) = 1

avec (e_i, e_j) = 1 si i = j et = 0 si i <> j

...

[Ben314]

Salut,
Si tu regarde ton truc de façon théorique, ben en fait c'est des cas particulier (avec m=1 et m=2) d'un résultat qu'on pourrait énoncer comme suit :

Si dans un espace Euclidien on a deux familles de vecteurs et telles que, pour tout on ait alors il existe au moins une isométrie vectorielle (i.e. un élément du groupe orthogonal) telle que pour tout .

- Est ce que tu voit pourquoi ça répond aux deux questions ?
- Est ce que tu voit comment démontrer un tel théorème ?

P.S. : Si ça te semble trop théorique, on peut tenter de le faire "plus à la main", mais les idées seront les mêmes.

[jp75014]

Salut,
Je vois comment démontrer ce résultat, je vois comment il s'applique au 1, mais pas au 2.
Je ne vois pas comment trouver un endo orthogonal qui match pour les 2 familles.

[Ben314]

En admettant ça :

Si dans un espace Euclidien on a deux familles de vecteurs et telles que, pour tout on ait alors il existe au moins une isométrie vectorielle (i.e. un élément du groupe orthogonal) telle que pour tout .

Pour le 1), tu as le vecteur donné par l'énoncé dont tu sait uniquement que et d'un autre coté, si tu prend une b.o.n. quelconque de et le vecteur de coordonnées dans alors on a .
En vertu du théorème, il existe donc une isométrie vectorielle de telle que ce qui montre que a pour coordonnées dans la b.o.n.

Pour le 2), exactement pareil : les deux vecteurs donnés de l'énoncé et sont tels que :

Or, si tu prend une b.o.n. quelconque de et les vecteur de coordonnées respectives et dans alors tu as :
.
Donc en vertu du théorème, il existe donc une isométrie vectorielle de telle que et ce qui montre que et ont pour coordonnées respectives et dans la b.o.n. .

Bref, les deux trucs, c'est donc bel et bien des applications directes du théorème en question et si on veut "faire un peu de théorie", c'est lui qu'il faut démontrer.
On peut aussi le faire plus "à la main" dans ces deux cas particulier (i.e m=1 et m=2), mais je pense que, comme dans le théorème général, on ne coupera pas au fait de montrer qu'il existe une isométrie vectorielle qui envoie les sur les et c'est bien exactement ce que tu as fait pour le 1) où, si on veut juste envoyer un vecteur sur un autre de même norme, il suffit de considérer une isométrie orthogonale.

[jp75014]

Et comment se prouve ce thm?

[Ben314]

Si dans un espace Euclidien on a deux familles de vecteurs et telles que, pour tout on ait alors il existe au moins une isométrie vectorielle (i.e. un élément du groupe orthogonal) telle que pour tout .

Ca se fait très bien par récurrence sur avec comme seul "fils conducteur" celui que tu as eu, à savoir d'utiliser des symétries orthogonales :
- On peut considérer qu'on fait l'initialisation avec m=0 où le résultat est trivialement vrai en prenant n'importe quelle isométrie pour , par exemple .
- Ensuite, on fixe un m1 et on suppose que c'est O.K. pour m-1 vecteurs donc on peut trouver une isométrie vectorielle telle que (donc si m=1 il n'y a pas de tels et on prend par exemple ).
Ensuite, si , c'est fini, il suffit de prendre .
Sinon, on considère la symétrie orthogonale par rapport à l'hyperplan et il suffit de vérifier que (*) et que pour tout (**) pour montrer que convient.

(*) Ce qui est trivial intuitivement parlant mais un soupçons long à écrire.
(**) Ce qui est légèrement moins évident intuitivement parlant mais par contre super rapide à vérifier.

Et si tu veut le faire "plus à la main", ça veut juste dire que dans le 2), on peut faire quasiment comme au 1), mais en composant deux symétries orthogonales au lieu d'en utiliser uniquement une.