Sens de variation + limites

[Soussou]

Bonjour,
Voici la fonction f définie sur par:
On me demande de calculer f'(x) puis d'en déduire le sens de variation de f sur .
Voici mon calcul:


J'ai fait et refait ma dérivée et je trouve toujours la même chose donc je pense qu'elle est juste. Seulement, je ne sais pas comment trouver le signe d'un polynôme du 3ème degré???


Un autre exercice qui me pose problème:
(Théorème de comparaison):
Soit la fonction f définie sur par: , où E désigne la fonction partie entière.
1) Par définition, pour tout réel x, on a : .
Montrer que, pour tout réel x, on a : .

Par définition, et comme alors en retranchant 1 de chaque côté on obtient . On a alors:

2)En déduire

On a donc
Comme alors, d'après le théorème des gendarmes on a :

Donc

Seulement, ???
Comment se débarrasser de cette forme indéterminée?

MERCI !!!

[laetidom]

Bonjour Soussou,

Je trouve la même dérivée,

pour le signe regarder si le polynôme de degré 3 n'a pas une racine évidente entière dans {. . . , -3 ; -2 ; -1 ; 1 ; 2 ; 3 ; . . .}

[Lostounet]

Ben pour se débarrasser de cette forme indéterminée tu dois diviser par x >0 les trois membres de l'inégalité avant d'appliquer le théorème des gendarmes:

(X-1)/x <= E(x)/x <= x/x

Et là tu passes à la limite dans l'inégalité large

Ps: tu n'as pas vraiment utilisé le thm des gendarmes dans ce que tu as fait mais seulement utilisé une minoration de E(x) par quelque chose qui tend vers l'infini.

[Soussou]

Bonjour Soussou,

Je trouve la même dérivée,

pour le signe regarder si le polynôme de degré 3 n'a pas une racine évidente entière dans {. . . , -3 ; -2 ; -1 ; 1 ; 2 ; 3 ; . . .}

Non, il n'y a pas de racine entière pour ce polynôme. Ce polynôme est égal à 0 pour une valeur entre 1.45 et 1.46 (à 0.01 près d'après le théorème des valeurs intermédiaires)

[Lostounet]

Ta dérivée est correcte. Pour trouver le signe d'un polynôme de degré, il s'agit de le factoriser (comme pour tout polynôme).

g(x) = 4x^3 - 3x - 8
g est strictement croissante sur [1/2; + l'infini[ et vaut en 1/2: g(1/2) = ... puis elle passe à l'infini et vu qu'elle est continue, elle s'annule et en ce point de changement de signe, f change de variation et devient croissante.

Tu peux proposer une valeur approchée de cette solution, vu que son expression analytique n'est pas très jolie.
( ~ 1.4570)

[Soussou]

Ben pour se débarrasser de cette forme indéterminée tu dois diviser par x >0 les trois membres de l'inégalité avant d'appliquer le théorème des gendarmes:

(X-1)/x <= E(x)/x <= x/x

Et là tu passes à la limite dans l'inégalité large

Ps: tu n'as pas vraiment utilisé le thm des gendarmes dans ce que tu as fait mais seulement utilisé une minoration de E(x) par quelque chose qui tend vers l'infini.

Ok merci. Je trouve la limite = 1