Espace vectroriel normé

[Maths-ForumR]

Bonjour,
Voici un exercice qui me pose des problèmes :

On definit l'application ll.ll de Mn(R) dans R par : si A=(aij), llAll=max
Pour M dans Mn(R) on note r(M)= max lvl

1)Montrer que ll.ll est une norme sur Mn(R)
2)Montrer que llABll<= llAll llBll
3)a.Montrer que llM^kll<llMll^k
3)b. En deduire que si llMll<1 alors la suite (M^k) converge vers la matrice nulle
4)a. Calculez ll In ll
4)b. Si D est une matrice diagonale calculer llDll en fonction de r(D)

Je suis bloqué :
pour la 4)a. ll In ll = n ceci est-il juste ?
pour la 4)b. llDll = la somme des lvl mais je n'arrive pas a relier a r(D)

Pouvez vous m'aider merci d'avance

[fatal_error]

salut,

3.a)
M^k = M*M*M... k fois = M (M...k-1 fois)
donc ||M^k|| <= ||M||||(M...k-1 fois)||
puis tu continues...
4.a)
le max pour quoi? pour i?
SI c'est le cas, il faut comprendre que t'as n lignes. tu cherches la ligne pour laquelle la somme des coeffs (en valeur absolue..) est la plus grande.
pour I, ben quelque soit la ligne, la somme vaut 1.. donc ||In|| = 1
4.b) qu'est-ce que c'est |v|, je présume que c'est v_j, r(M) = max_j  |v_j|
tu cherche la colonne tq la norme du vecteur colonne donne le scalaire le plus grand.
SI tu supposes que |v_j| = somme |a_ij| pour i = 1 à n, alrs comme de toute facon D est symétrique
somme |a_ij| = somme |a_ji| pour i = 1 à n idem pour chaque ligne, ya une colonne dont la norme est la même
et donc ||D|| = r(D)

[Maths-ForumR]

Pour la 4)a) Merci je croyais que c'était la somme des éléments diagonaux mais merci j'ai compris !

Pour la 4)b) v correspond aux valeur propre de M : r(M)= max lvl (r ∈ Sp(M) )

[fatal_error]

ok dc jai dit des betises pour 4.b

maintenant sauf erreur, les coeff diagonaux de D sont les valeurs propres de D.
dc le max des lignes de D vaut le plus grand coeff de D qui lui meme est une valeur propre... de D....
et on a le meme resultat:r(D)=||D||

[Ben314]

Sinon, vu ce que tu était parti à répondre aux questions 4)a) et 4)b), je me demande si ça aurait pas été plus pédagogique de mettre une question 0) du style :
0) Calculer ||M|| (et éventuellement ) où