Espace vectoriel normé

[legeniedesalpages]

Bonjour,

je bloque sur cet exo:

Soit un -espace vectoriel normé.

1) On suppose que et que la norme vérifie la règle du parallélogramme,

ie pour tous ,

[CENTER][/CENTER]

Pour tout on pose .

a) Justifier la continuité de sur .

b) Déterminer et en fonction de . Calculer .

c) Montrer que

d) En déduire que pour tout , on a . Montrer que cette dernière égalité est encore vraie pour tout .

e) En utilisant la continuité de , montrer que est -linéaire et en déduire que est un -produit scalaire.

f) Vérifier que la norme ci-dessus est égale à la norme associée au -produit scalaire .

2) Montrer que, pour , le -espace vectoriel normé est un -espace préhibertien ssi la norme vérifie la règle du parallélogramme.

3) Qu'en est-il pour ?


Déjà je bloque à partir de la 1)c), je ne vois pas comment procéder.

Merci pour votre aide.

[legeniedesalpages]

Je sollicite votre aide pour la question 1 c) auquel je bloque toujours.

Merci pour vo réponses. :)

[alavacommejetepousse]

bonjour

il suffit d 'appliquer l'identité du pllgr à chaque membre plusieurs fois
pour les écrire tous les deux en fonction des normes au carré de x , x ' , y pour constater l 'égalité.

[alavacommejetepousse]

bonjour

je présume que c'est - dans la définition et non +

[legeniedesalpages]

bonjour

je présume que c'est - dans la définition et non +

Dans l'énoncé qu'on m'a donné c'est +.

[alavacommejetepousse]

ben non

pars à l' envers

suppose que la norme est euclidienne

ton phi c est le produit scalaire de x et y

il vaut 1/4 ( ll x+yll^2 ---------- ll x-yll^2) en développant

[legeniedesalpages]

ben non

pars à l' envers

suppose que la norme est euclidienne

ton phi c est le produit scalaire de x et y

il vaut 1/4 ( ll x+yll^2 ---------- ll x-yll^2) en développant

ok donc il y aurait une coquille, je développe à l'envers et je reprends l'exo, merci alavacommejetepousse.

[legeniedesalpages]

Bon, même avec corrigée, je ne vois pas comment montrer l'additivité. :hein:

[Nightmare]

Salut :happy3:


Or :

et


Au final il reste donc :

Bizarre ça! :marteau:

[legeniedesalpages]

Salut Jord,

dans la question précédente (1b) j'ai montré que est symétrique: .

Et vu la question suivante, je pense que ça concorde. Je ne vois pas ce qui cloche?

[ffpower]

Je prend la suite de nightmare:en faisant x'=0,on obtient


Ceci étant vrai pour tout x,en remplacant x par x+x',on obtient:

et donc

[legeniedesalpages]

Finalement j'y arrive comme ça:

On utilise deux fois la règle du parallélogramme:

i) avec et , on a :

[CENTER],[/CENTER]

ii) avec et , on a :

[CENTER],[/CENTER].

Si on soustrait membre à membre l'égalité (1) par l'égalité (2), on a









, règle du parallélogramme appliquée deux fois,



D'où .

[legeniedesalpages]

Je prend la suite de nightmare:en faisant x'=0,on obtient


Ceci étant vrai pour tout x,en remplacant x par x+x',on obtient:

et donc

ah oui effectivement, merci ffpower.

[legeniedesalpages]

bon c'est ok, pour la 1).

Ensuite pour la 2)

On a montré en 1) que si la norme vérifie la règle du parallélogramme, est un -espace préhilbertien.

Réciproquement, si est un -espace préhilbertien, soit le produit scalaire associé à ,

pour , on a:







l'égalité peut être réécrite sous la forme



En échangeant par - dans l'égalité on obtient



En additionnant et on obtient

,

l'égalité du parallélogramme.

Ensuite pour 3), dans la preuve précédente, on observe que si est un -espace préhilbertien, la norme vérifie la règle du parallélogramme, mais pour la réciproque je ne vois pas.

[ffpower]

Pour 2),tu veux dire.ben la réciproque,c est la conséquence de tout ce que tu a fait dans 1).Si t as une norme vérifiant l identité du parralélogramme,elle est issu d un produit scalaire par 1 f),donc elle est préhilbertienne.(c la definition..)

Au fait,comme on est dans R c est (x,y) qu il faut ecrire et pas Re(x,y)..(enfin on peut,mais ca sert a rien de parler de la partie réelle d un réel^^)

[legeniedesalpages]

Pour 2),tu veux dire.ben la réciproque,c est la conséquence de tout ce que tu a fait dans 1).Si t as une norme vérifiant l identité du parralélogramme,elle est issu d un produit scalaire par 1 f),donc elle est préhilbertienne.(c la definition..)

Au fait,comme on est dans R c est (x,y) qu il faut ecrire et pas Re(x,y)..(enfin on peut,mais ca sert a rien de parler de la partie réelle d un réel^^)

non c'est bien 3), j'ai écrit dans 2) de façon générale avec les parties réelles pour éviter de réécrire la même chose dans 3) pour l'implication directe.

Il me reste en fait l'implication indirecte en 3).

Edit: je viens de modifier IR par IC à la fin de mon post #13 pour éviter un quiproquo