Probabilités (Variables continues)

[Livounet]

Bonjour !

J'ai un petit problème en proba, pour quelque chose qui me semblait évident en TD, mais maintenant que je le refais seul... Même mon cours ne parvient pas à me donner la petite impulsion qu'il me faut pour me débloquer .

Voici l'exercice :

Soit X une variable aléatoire réelle de densité
[Où 1 est la fonction indicatrice ; désolé je viens de découvrir le machin tex, je n'ai pas trouvé comment faire le joli]

1) Vérifier que f est une densité de probabilité
-> Pas de soucis, j'ai montré que l'intégrale sur -inf +inf était égale à 1.

2) Montrer que est une variable aléatoire continue, dont on précisera la densité. Reconnaître la loi de Y.
-> C'est làààààà que je bloque !
Dans le TD, on a fait comme ceci :

On cherche :



Puis on a calculé .


Le problème, c'est que dès le début, je ne comprends pas ce qu'on fait.
Quel est le lien entre "Y une variable aléatoire continue" et ?
J'imagine que c'est un peu bête comme question, que c'est tout simplement une définition du cours... Mais j'ai beau le retourner, je ne trouve rien de vraiment convainquant.

[lionel52]

Salut, ce que tu calcules là c'est la fonction de répartition de Y


Avec les mains tu sais que si f est la densité d'une v.a Y alors et donc est la dérivée de F

Donc tu peux chopper f en dérivant F

[Ben314]

Salut,
Là, effectivement, c'est... assez grave...
Quand tu as une variable aléatoire réelle X (i.e. prenant ces valeurs dans R), le premier truc qu'on voit normalement, c'est la notion de "fonction de répartition", c'est à dire la fonction F:R->[0,1] qui, au réel x associe la proba que X<=x.
On vérifie ensuite que la connaissance de cette fonction de répartition donne bien "toute l'information" relative à la v.a.r. X ce qui fait que dans à peu prés tout les exos., lorsque l'on "donne" une v.a.r., ben c'est sa fonction de répartition que l'on donne.
Ensuite, on distingue plusieurs types de v.a.r. en fonction du "type" de résultat qu'elles peuvent donner :
- Les v.a.r. discrètes qui ne peuvent prendre qu'un nombre fini (ou éventuellement dénombrable un fois qu'on sait ce que le vocable signifie) de valeurs. Leur fonction de répartition est donc constante sur des intervalles et fait des "sauts brusque" lorsque x passe sur une des valeurs prise par X : elle est donc discontinue et c'est même l'exemple le plus simple qui peut venir à l'esprit d'une fonction discontinue.
-A l'inverse, F peut être "très régulière", ce qui peut signifier pas mal de truc différents, mais dans le contexte des probas, on met (au départ) la barre en considérant qu'une "bonne régularité", ça veut dire dérivable (sauf éventuellement quelques points) et avec une dérivée continue (sauf éventuellement quelques points).
Dans ce cas, la dérivée de f=F' de F est appelée "fonction de densité de X" et, par définition même , on a .
- Pour la culture générale, c'est pas con de savoir qu'il existe des v.a.r. non discrète et n'ayant pas de fonction de répartition (i.e. F n'est pas assez régulière), mais dans la pratique élémentaire des proba., on n'en rencontre très rarement.

Ici, la tournure de l'énoncé, tu t'en fout pas mal, tout ce qui est important, c'est de voir qu'on te demande de montrer que Y admet une fonction de répartition, c'est à dire que la fonction y->p(Y<=y) est dérivable (sauf éventuellement en quelques points).
Et vu que ça semble quand même pas évident de montrer qu'une fonction est dérivable sans même chercher à écrire qui est la fonction en question, ben tu commence évidement par évaluer combien ça vaut p(Y<=y) pour un réel y donné.