Etude de suite définie par une relation de récurrence
Enoncé
A travers létude dune suite numérique dont le comportement est apparemment difficile à cerner, vous allez demander à vos élèves dutiliser au mieux leur calculatrice mais de garder un oeil critique sur les résultats quelle peut leur apporter.
Pour cela, vous leur proposez la suite u = (un)n>0 définie par u0 E [0, 1]
et n E N, un+1 = 4un(1
un)NB : vous avez toute latitude de mettre en avant tel ou tel aspect du problème, mais il est important que vous fassiez jouer à la calculatrice un rôle de premier plan. Notez bien quon ne vous demande pas daborder tous les aspects évoqués ci-dessous : vous pouvez faire des choix, définir des priorités, à condition de les justifier.
Vous avez dans lidée dillustrer tout ou partie des points suivants :
Visualiser graphiquement le comportement de la suite u pour une valeur donnée de u0 et pour les dix ou les cinquante premiers termes. Tirer quelques observations des résultats observés.
Calculer (connaissant u0 et n) une valeur num´erique de un, en utilisant le mode de calculs approchés de la calculatrice.
Dans toute la suite, on suppose que u0 = (5+sqrt(5))/8 .
Calculer u1 et u2 et en déduire un pour tout n de N.
Avec cette valeur de u0, reprendre la visualisation graphique de la suite u jusquà u50.
Calculer u10, u11, u50, u51 avec le programme écrit précédemment. Commenter.
Montrer que u0 = (5+sqrt(5))/8 peut sécrire u0 = sin^2(x), avec 0<=x<=Pi/2.
Exprimer alors un en fonction de n et de x.
Utiliser cette formule pour calculer numériquement u10 et u50 par exemple. Commenter.
Travail demandé au candidat
En aucun cas, le candidat ne doit rédiger sur sa fiche sa solution de lexercice. Celle-ci pourra néanmoins lui être demandée, partiellement ou en totalité, lors de lentretien avec le jury.
Vous mettrez en en place un énoncé adapté à des élèves de terminale S, et apporterez vos propres réponses (Vous pouvez modifier lordre des questions, et ajouter des idées qui vous semblent utiles.)
En proposant ce problème à vos élèves, vous avez très certainement voulu illustrer lapport indéniable des calculatrices dans létude de certaines situations numériques, mais souligner également la prudence avec laquelle il faut accepter les réponses des machines. Vous proposerez une autre idée qui vous semblerait de nature à illustrer la même problèmatique.
Sujet zéro - 3 15 juin 2004
Des idées ?? Merci