Exercice dm maths

[elborn]

Bonjour,
J'ai de gros doutes sur mes résultats ,
J'espère que vous pouvez m'aider à corriger
Merci


Démontrer par recurrence que pour tout entier naturel n,
7^(n) >= 4^(n)+3^(n)

J'ai fais ceci:
Soit P(n) la propriété de tout n de N: "7^(n) >= 4^(n)+3^(n)", j'utilise le raisonnement par recurrence

1) initialisation
Est ce que P(1) vraie?
P(1): 7^1 = 7 et 4^1 + 3^1 = 7 donc on a une égalité mais je n'ai pas d'inégalité, faut -il que je fasse avec P(2) qui me donnerai alors 7^2 = 49 et 4^2+3^2 = 25 là on a bien une inégalité (est ce que c'est neccessaire pour P(2)?
Don je dis que P(0) vraie
2) hérédité:
Pour tout n fixé de N, je suppose P(n) vraie c'est a dire que 7^(n) >= 4^(n)+3^(n) est vraie
Hypothèse de recurrence:
Est ce que P(n+1) vraie?
Comparons P(n+1):
7^((n+1)) >= 4((n+1))+3((n+1))
7^(n+1) >= 4(n+1)+3(n+1)
7^(n+1) >= 4x4(n)+3x3(n)

Mais 7^(n+1) est égal a 7^(n) x 7 donc on aurait
7^(n) x 7>= 7x (4^(n)+3^(n))
7^(n) x 7>= 7x 4^(n)+ 5x 3^(n) >= 4x4(n)+3x3(n)

Donc on a bien 7^((n+1)) >= 4((n+1))+3((n+1))
Donc par P(n) vraie j'ai P(n+1) vraie.
P(n) est vraie pour tout n de N
Donc 7^(n) >= 4^(n)+3^(n)

[bolza]

Bonjour,

alors malheureusement P(0) n'est pas vrai :
7^0>= 4^0+3^0 donne 1 >= 2 ce qui est faux ...

Ensuite >= ça veut dire supérieur ou égal donc P(1) est vrai
après pour l'hérédité ça m'a l'air correcte, donc P(n) est vrai pour tout entier non nul