Inéquation avec exponentielles

[Laure22]

Bonjour,

Je me demandais comment résoudre l'inéquation suivante:
e^(x)-e^(-x)-2x >= 0

Je n'arrive pas à isoler le x, si j'utilise ln je me retrouve avec un -ln(2x). Si je factorise par x je me retrouve avec des e^x/x qui me laisse penser que je vais dans la mauvaise direction. Donc une petite aide serait la bienvenue histoire de pouvoir poursuivre une étude de fonction.

Merci d'avance!

[Lostounet]

Bonjour,

Je me demandais comment résoudre l'inéquation suivante:
e^(x)-e^(-x)-2x >= 0

Je n'arrive pas à isoler le x, si j'utilise ln je me retrouve avec un -ln(2x). Si je factorise par x je me retrouve avec des e^x/x qui me laisse penser que je vais dans la mauvaise direction. Donc une petite aide serait la bienvenue histoire de pouvoir poursuivre une étude de fonction.

Merci d'avance!

Hello,

La force brute ne semble donc pas marcher. Et si tu essayais plutôt d'utiliser une notion de convexité?

L'inéquation que tu cherches à résoudre équivaut à:
Sh(x)>= x avec sh la fonction sinus hyperbolique.

Or la dérivée seconde h''(x)=sh(x) est positive sur [0;+infini[
Donc la courbe est convexe sur cet intervalle et est au dessus de ses tangentes, en particulier la tangente à l'origine, d'équation y=ch(0)x + sh(0)

Sur l'autre bout de l'horizon, tu as de la concavité.

Ou sinon si tu n'as pas aimé, étudie g(x)=exp(x)-exp(-x)-2x
G'(x)=exp(x)+exp(-x)-2

Résous g'(x)>=0 (en posant y= exp(x) par exemple)
Et tu devrais t'en sortir avec une limite en moins l'infini de g et un tableau de variations.