Algèbre linéaire, sous-familles

[Peezy]

Bonsoir,

Je me demandais, puisqu'une sous famille de deux vecteurs d'une base de R^3 est génératrice de R², ceci est-il vrai dans le cas général ? Je pense que oui mais je ne connais pas de théorème qui le confirme

[Monsieur23]

Aloha,

Par définition, toute espace généré par une famille libre de n vecteurs est base d'un espace de dimension n (donc isomorphe à R^n).

[Peezy]

Merci pour la réponse,

cela veut-il dire que si j'ai un endomorphisme de R^n, avec Imf de dimension r, je peux extraire de la base canonique de R^n une base de Imf en composant par f r vecteurs tirés au hasard dans la base ?

Ce que je veux dire c'est : est-ce que la propriété "l'image d'une famille génératrice est génératrice de l'image" est vraie seulement pour une famille génératrice de l'ensemble de départ, ou cela fonctionne-t-il avec une sous-famille de la même dimension que Imf ?

[Monsieur23]

cela veut-il dire que si j'ai un endomorphisme de R^n, avec Imf de dimension r, je peux extraire de la base canonique de R^n une base de Imf en composant par f r vecteurs tirés au hasard dans la base ?

Non, prends f : R² -> R² tel que f(e1) = 0 et f(e2) = e2 (e1,e2 base de R²).
Alors im(f) = Vect(e2) de dimension 1, mais si tu prends un vecteur "au hasard" dans la base de départ (par exemple e1), tu n'as pas du tout une base de Im(f).