Dm suites et récurrence

[Lulumineon]

Bonjour à tous , voilà pour lundi j'ai un exercice noté à propos des suites et récurrence , mais j'ai des doutes je vais vous donner l'énoncé et comme je voudrais éviter de faire fausse route, j'aimerai quelques conseils avisés. Alors on considère la suite (Un) définie pour tout n de N par U0=3 et Un+1=4Un-2/x+1
1.Soit f la fonction définie sur [1;+infini[ par f(x)=4x-2/x+1
a. étudier les variations de f sur [1;+infini[
ici j'ai supposée qu'il fallait calculer tout d'abord la dérivé qui ici est u/v donc uv'-u'v/v2
dites moi si je me trompe , et dans ce cas on arrive à 6/(x+1)au carré mais je n'en suis pas sur et après établir un tableau de signe dont je suis peu sur aussi.
b. En déduire que, pour tout x de [1;+infini[, f(x) >ou égal à 1
des conseils ?
voilà pour le reste je pense être en mesure d'en venir à bout mais j'espère ne pas faire fausse route merci d'avance pour vos précieux conseils aguéries

[anthony_unac]

1.Soit f la fonction définie sur [1;+infini[ par f(x)=4x-2/x+1

Bonjour,
Avant de se lancer dans les calculs, soyons d'accord sur l'écriture de la fonction :

Est ce bien ceci ?

[Lulumineon]

C'est f(x) =
Merci d'avance

[anthony_unac]

Dans ce cas, votre résultat est correct mais pourquoi en doutez vous ?
Est ce le calcul de la dérivée qui est "trop" calculatoire et donc source d'erreur ?

[Lulumineon]

Pour être sur enfaite et le tableau de signe ça donnerai une fonction strictement positive car c'est un carré c'est cela ?

[mathelot]

f est croissante sur et sur l'intervalle

le tableau de variations montre que

[Lulumineon]

c'est exactement ce que j'ai trouvée merci bien

[anthony_unac]

Exact, la dérivée étant positive pour tout différent de , votre fonction est croissante.
Sur votre intervalle d'observation, donc la valeur "interdite" ne nous gène pas !
Concernant le calcul de la dérivée, il est possible de simplifier son calcul en transformant l'expression de départ en ou et sont deux nombres à trouver (par identification ça se fait les doigts dans le nez)

[Lulumineon]

Je vois, c'est plutôt ingénieux Anthony et dans ce cas là dans mon tableau de variation étant donné mon intervalle donné je n'ai pas à inscrire -1 et donc dans mon tableaux seront inscrit seulement -infini et 1 et une courbe croissante ci dessous ainsi que x+1 à gauche c'est cela ? est-il plus judiieux de ma part de la mettre sous la forme que vous m'avez proposé ?

[Lulumineon]

je ne comprend pas pourquoi lorsque x tend vers l'infini alors f(x) tend vers 4 et ducoup ce que je dois inscrire dans mon tableau :S

[Lulumineon]

et à quoi cela m'avance t'il de mettre la fonction sous forme réduite ?

[anthony_unac]

je ne comprend pas pourquoi lorsque x tend vers l'infini alors f(x) tend vers 4 :S

C'est précisément pour cette raison (+une autre) que je vous suggérais de réécrire sous une autre forme

[Lulumineon]

oui je vais essayer mais je ne vois pas toujours pas

[anthony_unac]

Je vous propose dans un premier temps de trouver les nombres et pour réécrire et après on va éclaircir tout ça !

[Lulumineon]

a= 4 et b= 6 il me semble !

[anthony_unac]

Oui donc que vaut la limite de (la nouvelle expression) quand ?

[Lulumineon]

elle vaut 4 car on prend le terme possédant le plus haut degré nan? merci beaucoup pour votre patience

[anthony_unac]

Si vous procédez ainsi c'est que vous n'avez pas calculé la limite à partir de la nouvelle forme de f(x) que je vous proposais

[Lulumineon]

Ah désolé j'ai du mal comprendre mais comment calculez vous la limite à partir de la nouvelle forme de f(x) , c'est que je me mélange un peu les pinceaux

[anthony_unac]

Pouvez l'écrire cette limite proprement pour commencer ?