Résolution d'équations différentielles

[admin123]

Bonjour à tous,

Je vous sollicite pour vous demander votre aide concernant la résolution d'une équation différentielle qui est la suivante :

3y − 4y' + y'' = xexp(2x)cos(x) + x²exp(x)

Je ne sais pas pour ou m'y prendre et pour ne rien vous cacher, je ne sais pas comment démarrrer... Pouvez-vouss m'aider svp?

Je reste disponible pour toute question !!

admin123

[zygomatique]

salut

1/ résoudre l'équation homogène associée à cette équation ....

[admin123]

Mon problème se situe ici... comment résoudre l'équation homogènz (i.e sans second membre...)

[arnaud32]

https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89qua ... %C3%A9aire

[admin123]

Merci pour vos commentaires. Voicimon travail:

L’équation caractéristique est r²-4.r+3 = 0 <=> (r-1)(r-3) =0 ; les solutions de l’équation homogène sont :

y(x)=K1exp(x) + K2exp(3x).

Je pense qu'il me reste maintenant à déterminerla solution particulière de cette équation.

Pour cela, voilà la methode que je souhaite adopter (pouvez vous svp me dire si je suis sur la bonne voie ??)

1. La fonction y (x) = ax2 + bx + c,
2. On exprime cette fonction dans notre équation de départ en tenant compte du second membre
3. par identification, on définit a, b, et c

Merci encore pour vos commentaires !!!

admin123

[zygomatique]

sauf que ton second membre n'est pas un polynome ....

pour trouver une solution particulière on peut utiliser le théorème de superposition qui dit que ;

si f est solution de l'équation y" - 4y' + 3y = xexp(2x)cos(x) = u(x) et g est solution de l'équation y" - 4y' + 3y = x^2exp(x) = v(x) alors f + g est solution de l'équation y" - 4y' + 3y = xexp(2x)cos(x) + x^2exp(x)

pour l'équation y" - 4y' + 3y = u(x) je te propose d'essayer f(x) = xexp(2x)[acos(x) + bsin(x)] où a et b sont des réels à déterminer .....

pour l'équation y" - 4y' + 3y = x^2exp(x) je te propose d'essayer g(x) = (ax^2 + bx)exp(x) où a et b sont des réels à déterminer (il n'y a pas besoin de c dans ax^2 + bx + c car il apparaît déjà dans les solutions de l'équation homogène)

....

[admin123]

Bonjour,

Merci beaucoup pour ce message. Je revois en effet ce théorème enseigné je crois l'année dernière ....

Il y a deux choses que je n'arrive pas à comprendre dans ta réponse :
1. "je te propose d'essayer f(x) = xexp(2x)[acos(x) + bsin(x)] où a et b sont des réels à déterminer ....." : Pour dire ça ?? comme il n'y a pas de sinus, on peut alors dire que a = 1et b = 0 ??
2. "je te propose d'essayer g(x) = (ax^2 + bx)exp(x)" : Idem, a=1 et b = 0 ???


Merci infiniment pour ton aide ...

admin123

[zygomatique]

le pb n'est pas qu'il n'y ait pas de sinus ....

le pb c'est que dans l'équation il y a y, y' et y" et qu'en dérivant un cos ça peut faire apparaître un sin ....

donc calcule f' et f" puis injecte dans l'équation différentielle et factorise convenablement pour obtenir un système d'équation d'inconnues a et b .....