L'interpolation polynomiale

[karima amari]

slt tous le monde...bon je suis nouveau membre....et je veux une aide mes amis ..notre prof a demandé de calculer la somme des n puissance trois : Sn=1^3+ 2^3+3^3 +.............+n^3 en utilisant l'interpolation polynomiale ( il n' a pas precisé si on utilise la methode de Lagrange ou de Newton ou autre methodes) et j ai pas trouver la solution svp aidez moi

[jlb]

Détermine le polynôme ax^4 +bx^3+cx^2+dx +e tel que Sn = an^4 + bn^3 + cn^2 + dn + e pour tout n

Je ne sais pas si cela répond à ta question, bon courage!

[karima amari]

mrc jlb...Mais pour determiner les coeff a;b;c;d,e il faut d'abord quatre equations donc ji besoin 4 valeurs de x avec4 valeurs de Sn...? pourquoi vous avez choisi 4 comme un degré de polynome ..?

[jlb]

Bah, j'ai un peu triché, je connais la formule!!
Tu cherches pour n=0, So = 0 = e, pour n=1 S1 =1 = a+b+c+d+e, pour n=2 S2 = 9 =a16 +b8 +c4 +d2 + e....

Sinon, le plus malin c'est de calculer (1+n)^4 pour n = 0 à k et de sommer les égalités obtenues... si tu connais déjà les formules pour la somme des entiers et la somme des carrés des entiers.
Bon courage!

[Lostounet]

Hello,

Par une interpolation polynomiale:
On recherche une fonction-polynome de degré 4 qui approxime au mieux Sn.
Soit f(x) = aX^4 + bX^3 + cX^2 + dX + e

A(1;1)
B(2;9)
C(3; 36)
D(4; 100)
E(5; 225)

a + c + c + d + e = 1
16a + 8b + 4c + 2d + e = 9
81a + 27b + 9c + 3d + e = 36
256a + 64b + 16c + 4d + e = 100
625a + 125b + 100c + 5d + e = 225

Qui est pas méchante (c'est quoi ce det?)
a = 1/4; b = 1/2; c = 1/4
d=e=0

Et finalement on trouve une formule.. bien connue sur la somme des cubes !

[mathelot]

On peut également chercher un polynôme P de degré 4 tel que
P(n+1)-P(n)=n^3
ce qui va rendre la somme des cubes télescopique.
P se cherche par coefficients inconnus

[karima amari]

mrc tout le monde c tres gentil

[Ben314]

Sinon, si tu veut encore une autre méthode (mais ça n'utilise pas du tout les polynômes interpolateurs) :
Dans le triangle de pascal, partant du fait que , on déduit que (en prenant évidement si ).
Ce qui signifie que, si on pose , on a :



Ce qui te permet d'en déduire de proche en proche la valeur des