Matrice

[WhyNot]

Bonjour,

Voici l'énoncé de mon problème:

Soit n appartenant à N*, on considère A appartenant à Mn(K) vérifiant la propriété: A^3=0
Soit x appartenant à R, on pose E(x)=In+xA+(x²)/2*A²

Les premières questions me demandent de calculer E(0) et de montrer que E(x)E(y)=E(x+y),
ce que j'ai fait sans soucis mais par la suite l'énoncé me demande de montrer que E(x) est inversible et de donner (E(x))^-1 pour tout x appartenant à R.

Je me doute bien qu'il faut s'aider des questions précédentes mais je ne vois pas comment.
Pourriez vous m'orienter dans la bonne direction?
Merci de m'avoir lu

[Robot]

Si tu sais que et que , est-ce si difficile de trouver une matrice telle que ?

[Lostounet]

Bonjour,

L'égalité E(x)*E(y)=E(x+y) est valable pour tout x et y. On peut donc prendre le y qui nous arrange.
Comment faire donc apparaitre l'identité dans le membre de droite, soit E(0)?
On peut prendre y =...

(D'ailleurs ça ressemblerait pas un peu à l'exponentielle matricielle? Pour t'aider dans R, 1/exp(x) =exp(-x))

[WhyNot]

Merci pour la rapidité de vos réponses !

Donc si j'ai bien compris:
On pose y=-x, ce qui nous donne
E(x)E(y)=E(x+y)
=> E(x)E(-x)=E(x-x)
=>E(x)E(-x)=In
d'où (E(x))^-1=E(-x)

[WhyNot]

Bonjour,
J'ai une petite question, à propos d'une autre question:
On a une matrice D=

Et une matrice M appartenant àM3(R)

Il faut montrer que si M vérifie M²=D alors MD=DM

J'ai pensé à poser une matrice M avec des inconnues, puis à la mettre au carré, ensuite résoudre les équations pour identifier les coefficients. Mais au final, cela me donne 9 équations assez pénible à résoudre, de plus dans la question suivante je dois donner les solutions de l'équation M²=D, donc je ne pense pas que mon idée soit dans l'esprit de la question

Auriez vous des suggestions ?

Merci de m'avoir lu

[Robot]

Si vérifie , alors

[WhyNot]

Ah bah oui, c'est tellement simple dit comme ça, j'ai honte....

Merci de la rapidité de vos réponses !