Sens de Variation du produit

par **caily** » 01 Oct 2006, 11:21

Bonjours à tous !
Je fais appele a vous pour un petit doute en math...:

# Soit f et g les fonctions definies sur R pas f(x) = 2x et g(x) = 3x
Etudier le sens de variation de la fonction h = f * g

Reponse : (f * g) (x) = 2x * 3x = 6x²
6x² est une fonction carée, elle est donc décroissante sur [-oo ; 0] et croissante sur [0 ; +oo[

# soit p et q deux fonctions croissantes sur un intevalle I. La fonction p *q est-elle forcément croissante sur I ? Expliquer

Reponse : Soit tous les x p, I
x q, I
On a p >(ou égal) 0 car p est croissante
q >(ou égal) 0 car q est croissante
Puis p*q >(ou égal) 0
Donc p*q est croissante sur I.

On ne peut pas en général prévoir le sens de variation du produit de deux fonctions. CEpendant on va traiter cette question dans un cas particulier.

#On considère deux fonctions u et v définies et croissantes sur un intervalle I telles que, pour tout x de l'intervalle I, on a u(x) > 0 et v(x) > 0

Soit a et b deux réels de I.
Verifier que u(a) * v(a) - u(b) * v(b) = u(a) * [ v(a) - v(b)] + v(b) * [ u(a) - u(b)]

Cette démonstration me bloque pour le reste de mon exercice, alors si quelqu'un pouvait m'aider je lui en serait reconnaissante !

Reste de l'exo :
En deuire le sens de variation de la fonction u* v sur I.
Enoncer la règle obtenue. Utiliser cette règle pour retrouver le sens de variation sur [0 ; +oo[ de la fonction h définie à la question 1.

Merci a tous pour votre aide

par **BancH** » 01 Oct 2006, 11:27

caily a écrit:On a p >(ou égal) 0 car p est croissante
q >(ou égal) 0 car q est croissante
Puis p*q >(ou égal) 0
Donc p*q est croissante sur I.[/COLOR]

Tu peux pas dire

,

désigne une fonction, pas un nombre !

Et tu confonds fonction croissante et fonction positive.

par **rene38** » 01 Oct 2006, 11:28

Bonjour

caily a écrit: Soit f et g les fonctions definies sur R pas f(x) = 2x et g(x) = 3x

Elles sont toutes deux croissantes, d'accord ?

Etudier le sens de variation de la fonction h = f * g
Reponse : (f * g) (x) = 2x * 3x = 6x²
6x² est une fonction carée, elle est donc [color=red]décroissante sur [-oo ; 0] et croissante sur [0 ; +oo[
[/color]

# soit p et q deux fonctions croissantes sur un intevalle I. La fonction p *q est-elle forcément croissante sur I ? Expliquer

Reponse : Soit tous les x p, I
x q, I
On a p >(ou égal) 0 car p est croissante
q >(ou égal) 0 car q est croissante
Puis p*q >(ou égal) 0
[color=red]Donc p*q est croissante sur I.[/color]

Les 2 phrases en rouge ne te semblent pas contradictoires ?

par **BancH** » 01 Oct 2006, 11:32

caily a écrit:# soit p et q deux fonctions croissantes sur un intevalle I. La fonction p *q est-elle forcément croissante sur I ? Expliquer

Il faut prendre deux réels appartenant à

, tu dis que l'un est inférieur à l'autre tu exprimes alors leur images par la fonction

, tu dis quelle image est la plus grande, puis tu compares les images de ces deux images par la fonction

.

par **rene38** » 01 Oct 2006, 11:37

BancH, le contre-exemple de la première question me semble la meilleure et la plus simple des démonstrations.

puis tu compares les images de ces deux images

Tu ne fais pas le produit des fonctions, tu les composes :

par **BancH** » 01 Oct 2006, 11:59

Oui, je pensais que le produit de deux fonctions était équivalent à leur composée...

par **caily** » 01 Oct 2006, 12:15

Exacte, je ne vouyais même pas que je me contredisais, je pensais pas au lien qu'il y avait...
Donc si j'ai bien compris :

Soit a et b I
a < b
Donc p (a) < p(b)
Donc q(a) < q(b)

Donc p(a) x q(a) < p(b) x (q(b)

jusque là c'est bon ? mais apres, je ne vois pas comment retomber sur mes pas :marteau:

par **caily** » 01 Oct 2006, 13:55

en relisant le post je crois avoir mal compris... Je ne dois pas faire de produit ?
jme suis embrouillée je crois bien...

par **caily** » 01 Oct 2006, 16:14

Je crois que je me suis embrouilée...
Est ce que mon raisonnement ci dessus est correct ?
Faut il que je fasse f o g ??

par **caily** » 01 Oct 2006, 16:28

u(a) * v(a) - u(b) * v(b) = u(a) * [ v(a) - v(b)] + v(b) * [ u(a) - u(b)]
u(a) * v(a) - u(b) * v(b)= u(a) * v(a) - u(a) * v(b) + v(b) * u(a) - v(b) *v(b)
u(a) * v(a) - u(b) * v(b) = u(a) * v(a) - u(b) * v(b)

?? c'est bien ça... ?
Et donc mes premieres questions sont justes ou non ?

par **caily** » 02 Oct 2006, 14:42

Aucunes réponses...
C'est pas grave je vous remercie de m'avoir déjà à avancer.
Je vous remercie car je trouve que beaucoup de monde oublie de le faire ^^
Donc bonne continuation a tous !
Caily

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