Devoir maison term s

par **sophie1407** » 31 Déc 2015, 15:08

Bonjour je voudrais de l'aide pour mon devoir maison, voici le sujet:

Dans le plan rapporté à un repère orthonormal (O;i;j) la courbe C est la courbe représentative de la fonction exponentielle et le point B à pour coordonnées (2 ; -1) et M est un point quelconque de la courbe C.

Questions:
Existe t-il une position de M telle que la distance BM soit:
a.minimale?
b.égale à 5?

La première question est faite et je voulais savoir si pour la deuxieme il faut que je résous l'inéquation suivante:

(x-2)²+(e^x+1)²=5

(la fonction vient de la première question, qui est la distance BM²)
Merci!

par **alexis6** » 31 Déc 2015, 15:37

sophie1407 a écrit:Bonjour je voudrais de l'aide pour mon devoir maison, voici le sujet:

Dans le plan rapporté à un repère orthonormal (O;i;j) la courbe C est la courbe représentative de la fonction exponentielle et le point B à pour coordonnées (2 ; -1) et M est un point quelconque de la courbe C.

Questions:
Existe t-il une position de M telle que la distance BM soit:
a.minimale?
b.égale à 5?

La première question est faite et je voulais savoir si pour la deuxieme il faut que je résous l'inéquation suivante:

(x-2)²+(e^x+1)²=5

(la fonction vient de la première question, qui est la distance BM²)
Merci!

Pour la deuxieme c'est 25 du coup.
(e^x+1)^2=-x^2+2x+21
x=ln(rac(-x^2+2x+21)-1))

Il faut tenir compte des inegalites. C'est bizarre que le polynome ne tombe pas juste.

Pour 5 on tombe sur x=ln(rac(-x^2+2x+1)-1)) donc -x(x+2)>0 dc -2<x<0

par **sophie1407** » 31 Déc 2015, 15:59

Je pense pas que se soit la bonne méthode alors parce qu'il faut trouver une réponde juste et non pas approximative, merci quand même

par **Ben314** » 31 Déc 2015, 16:32

Salut,
Attention : personne ne te demande où doit être situé un éventuel point M sur la courbe tel que BM=5.
La question est uniquement "existe-t-il un point M tel que BM=5 ?"

Donc le problème n'est pas de déterminer la (les) éventuelles solutions de (x-2)²+(e^x+1)²=5², mais uniquement de déterminer s'il existe ou pas des solutions.

par **sophie1407** » 31 Déc 2015, 16:33

Oui il en existe 2 même j'ai regarder la courbe sur geogebra

par **Ben314** » 31 Déc 2015, 16:37

sophie1407 a écrit:Oui il en existe 2 même j'ai regarder la courbe sur geogebra

Effectivement.
Après, je pense qu'on attend de toi une preuve un peu plus "mathématique" qu'un simple "je l'ai vu sur la courbe" (encore que c'est quand même pas mal valable comme argument...)

par **zygomatique** » 31 Déc 2015, 17:04

salut

un argument un peu plus "valable" ....

on cherche des x tels que

notons f(x) le premier membre alors f(0) = 8 (x - 2)^2 qui tend vers +oo en +oo et en -oo donc on a au moins une solution positive et une solution négative d'après le TVI

:lol3:

par **sophie1407** » 02 Jan 2016, 16:52

zygomatique a écrit:salut

un argument un peu plus "valable" ....

on cherche des x tels que

notons f(x) le premier membre alors f(0) = 8 (x - 2)^2 qui tend vers +oo en +oo et en -oo donc on a au moins une solution positive et une solution négative d'après le TVI

:lol3:

salut
merci zygomatique j'ai failli faire une erreur dans l'équation j'avais oublier le "²" au 5

par **sophie1407** » 03 Jan 2016, 15:19

Je ne vois pas comment je pourrais trouver les 2 solutions, quelqu'un pourrait-il m'aider? merci

par **zygomatique** » 03 Jan 2016, 15:23

on ne peut pas résoudre exactement cette équation !!!

par **sophie1407** » 03 Jan 2016, 15:34

Daccord donc j'ai juste à dire qu'il existe 2 solutions possible pour BM=5 ?

par **zygomatique** » 03 Jan 2016, 17:01

oui ... en le justifiant ...

par **Pseuda** » 03 Jan 2016, 19:11

Il faut considérer la fonction : f(x) = (x - 2)^2 + (e^x + 1)^2 - 5^2, l'étudier (dérivée, tableau de variation, limites, etc...), et utiliser le théorème des valeurs intermédiaires pour montrer que cette fonction prend 2 fois la valeur 0.

par **zygomatique** » 04 Jan 2016, 15:55

il n'est pas utile de la dériver .... pour prouver l'existence de deux solutions ...

ce que j'ai dit suffit (étant sous-entendu que f est continue pour appliquer le TVI)

si on doit prouver qu'il y a exactement deux solutions alors là oui il faut faire un effort supplémentaire ....

par **chan79** » 04 Jan 2016, 17:39

Pour la distance minimale

on sait que

quel que soit le réel

(étudier la fonction

telle que

)

La distance de

à un point

est

D'après l'inégalité indiquée plus haut:

et cette distance minimale est obtenue pour

par **Pseuda** » 04 Jan 2016, 18:27

zygomatique a écrit:il n'est pas utile de la dériver .... pour prouver l'existence de deux solutions ...

ce que j'ai dit suffit (étant sous-entendu que f est continue pour appliquer le TVI)

si on doit prouver qu'il y a exactement deux solutions alors là oui il faut faire un effort supplémentaire ....

Il me semble que le but de cet exercice de TeS (ou ES) est de savoir étudier une fonction contenant la fonction exponentielle. D'autre part, au vu de l'énoncé, oui, on ne peut pas seulement dire qu'il y a au moins 2 solutions à la distance BM=5, il faut prouver qu'il y a en a exactement 2.

@ Chan Il me semble que de dire que pour tout x, u(x) >= 3 (par exemple), ne suffit pas à prouver que le minimum de la fonction u est 3. La valeur du minimum n'est par ailleurs pas demandée dans l'énoncé.

Compte tenu de tout cela, il me semble nécessaire d'étudier soigneusement la fonction f(x) = (x-2)^2 + (e^x+1)^2, puis f(x)-25 : dérivée première, seconde, tableau de variation.

par **zygomatique** » 04 Jan 2016, 18:56

déjà avec la dérivée première ils ont du mal ... alors avec la dérivée seconde ...

on peut tout à fait affirmer (donc en justifiant) sans étude des variations que :

1/ il existe une distance minimale (pour au moins un point)

2/ il existe (au moins) deux points de C à la distance 5 de B

....

par **chan79** » 04 Jan 2016, 19:00

PSEUDA a écrit:
@ Chan Il me semble que de dire que pour tout x, u(x) >= 3 (par exemple), ne suffit pas à prouver que le minimum de la fonction u est 3. La valeur du minimum n'est par ailleurs pas demandée dans l'énoncé.
.

la distance est supérieure ou égale à

et, comme je l'ai indiqué, elle est égale à

pour

c'est vrai qu'on ne la demande pas

par **Pseuda** » 06 Jan 2016, 07:50

chan79 a écrit:
PSEUDA a écrit:
@ Chan Il me semble que de dire que pour tout x, u(x) >= 3 (par exemple), ne suffit pas à prouver que le minimum de la fonction u est 3. La valeur du minimum n'est par ailleurs pas demandée dans l'énoncé.
.

la distance est supérieure ou égale à et, comme je l'ai indiqué, elle est égale à pour

c'est vrai qu'on ne la demande pas

Ok.

par **Pseuda** » 06 Jan 2016, 08:03

zygomatique a écrit:déjà avec la dérivée première ils ont du mal ... alors avec la dérivée seconde ...

on peut tout à fait affirmer (donc en justifiant) sans étude des variations que :

1/ il existe une distance minimale (pour au moins un point)

2/ il existe (au moins) deux points de C à la distance 5 de B

....

Tu sembles ignorer qu'en TeES, on étudie en début d'année les dérivées seconde pour étudier la convexité des courbes.

Désolée, mais comme je sais qu'il y a au moins deux points qui sont une distance 5 de B à la courbe, j'ai envie de savoir s'il y a en a exactement deux, ou s'il y a en a plus, puisqu'on a les moyens de le savoir.

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