Aidez-moi

[clems33440]

Bonjour, cette exercice est sur la divisibilité et les congruences.
Dans mon exercice je dois démontrer en utilisant les congruences et un raisonnement par disjonction des cas : que si n désigne un entier naturel alors n(n+1)(2n+1) est divisible par 6.
j'ai commencé par dire que n est pair donc n est un multiple de 6 tel que n=6k
j'ai commencé avec n= 6k est je trouve 432k^{3} + 108k² +6k
ensuite avec n+1 = 6k+1 est je trouve 6k(72k²+54k+13k +6
sauf que je ne vois pas le rapport avec les congruence et je ne sais pas où je dois m'arrêté pour la disjonction des cas.
J'espere qu'on pourra m'aider, s'il vous plaît.

[mathelot]

il suffit de montrer que n(n+1)(2n+1) est divisible par 2 et divisible par 3

n(n+1) est divisible par 2 (n pair ou n impair)

maintenant divisible par 3,

Si n=3k .ok il n' y a rien à faire

Si n=3k+1
(3k+1)(3k+2)(6k+2+1) est divisible par 3.

Si n=3k+2
(3k+2)(3k+3)(6k+5) est divisible par 3.

[clems33440]

il suffit de montrer que n(n+1)(2n+1) est divisible par 2 et divisible par 3

n(n+1) est divisible par 2 (n pair ou n impair)

maintenant divisible par 3,

Si n=3k .ok il n' y a rien à faire

Si n=3k+1
(3k+1)(3k+2)(6k+2+1) est divisible par 3.

Si n=3k+2
(3k+2)(3k+3)(6k+5) est divisible par 3.

Merci :happy2:

[chan79]

juste pour compléter car ce n'est pas la méthode demandée:

on peut démontrer, par exemple par récurrence que



Le nombre de gauche est entier donc celui de droite aussi.