Fonction exponentielle TS

[letravailleur13]

Bonjour,

J'ai un Dm de math à rendre sur les fonctions exponentielles, je suis en terminale S.

Voila donc le sujet :




J'ai besoin d'aide pour la question 3) Tangente

Je sais qu'il faut que f'(x) = 0

Donc cela donne f3'(x) = 0
donc
x^2 * e^-x * (3 - x ) = 0

Et la je bloque

[Carpate]

Bonjour,

J'ai un Dm de math à rendre sur les fonctions exponentielles, je suis en terminale S.

Voila donc le sujet :




J'ai besoin d'aide pour la question 3) Tangente

Je sais qu'il faut que f'(x) = 0

Donc cela donne f3'(x) = 0
donc
x^2 * e^-x * (3 - x ) = 0

Et la je bloque

C'est une équation produit : quels sont les facteurs de ce produit qui peuvent s'annuler ?

[letravailleur13]

C'est une équation produit : quels sont les facteurs de ce produit qui peuvent s'annuler ?

C'est les x ?

[Pierrot73]

C'est les x ?

bonsoir,

Bof bof ... non ce ne sont pas les x. Voici un exemple pour te guider dans ta démarche :
si (x-3)*(x+2)*(1-x) = 0, alors soit (x-3) = 0, soit (x+2) = 0, soit (1-x) = 0.
Comment ferais-tu avec ta fonction f3' ?

[letravailleur13]

bonsoir,

Bof bof ... non ce ne sont pas les x. Voici un exemple pour te guider dans ta démarche :
si (x-3)*(x+2)*(1-x) = 0, alors soit (x-3) = 0, soit (x+2) = 0, soit (1-x) = 0.
Comment ferais-tu avec ta fonction f3' ?

Ah d'accord donc :

x^2 = 0, donc x = 0
e^-x = 1
x* e^-x = 0 donc x = 0
et donc
(3-X) = 0 donc x = +3

et donc

x^2 * x*e^-x * ( 3- x) = 0

[Pierrot73]

Ah d'accord donc :

x^2 = 0, donc x = 0
e^-x = 1
x* e^-x = 0 donc x = 0
et donc
(3-X) = 0 donc x = +3

et donc

x^2 * x*e^-x * ( 3- x) = 0

Non ce n'est pas encore cela. Une fonction qui se présente sous la forme d'un produit de facteurs s'annule si l'un au moins de ces facteurs s'annule. Combien de facteurs ta fonction a-t-elle ?

[letravailleur13]

Non ce n'est pas encore cela. Une fonction qui se présente sous la forme d'un produit de facteurs s'annule si l'un au moins de ces facteurs s'annule. Combien de facteurs ta fonction a-t-elle ?

Il y à 3 facteurs ?

[Pierrot73]

Il y à 3 facteurs ?

Oui c'est bien cela. Il y a 3 facteurs et f3' sera nulle à chaque fois que l'un de ces facteurs sera nul. Donc, combien auras-tu de tangentes à C parallèles à (Ox) ?

[letravailleur13]

Oui c'est bien cela. Il y a 3 facteurs et f3' sera nulle à chaque fois que l'un de ces facteurs sera nul. Donc, combien auras-tu de tangentes à C parallèles à (Ox) ?

Du coup il y aura 2 points quand c'est égale à 0 avec x^2 , x = 0 et c'est tout car e^-x = 1

Donc 2

[Pierrot73]

Du coup il y aura 2 points quand c'est égale à 0 avec x^2 , x = 0 et c'est tout car e^-x = 1

Donc 2

Non ce n'est pas encore ça.

Ta fonction a 3 facteurs : x², e^-x et 3-x. La fonction s'annule si l'un de ces trois facteurs est nul, donc lorsque : x²=0 ou e^-x=0 et 3-x=0.

Quelles valeurs de x annulent ta fonction f3' ?

[letravailleur13]

Non ce n'est pas encore ça.

Ta fonction a 3 facteurs : x², e^-x et 3-x. La fonction s'annule si l'un de ces trois facteurs est nul, donc lorsque : x²=0 ou e^-x=0 et 3-x=0.

Quelles valeurs de x annulent ta fonction f3' ?

0 ou 3 ? Je suis pas sûr

[Pierrot73]

0 ou 3 ? Je suis pas sûr

Oui c'est cela.

1. x² = 0 donc x = 0
2. 3-x = 0 donc x = 3
3. e^(-x) = 0 n'admet pas de solution.

Tu as donc deux tangentes à C parallèles à (Ox), et elles sont en x = 0 et x = 3.

[letravailleur13]

Oui c'est cela.

1. x² = 0 donc x = 0
2. 3-x = 0 donc x = 3
3. e^(-x) = 0 n'admet pas de solution.

Tu as donc deux tangentes à C parallèles à (Ox), et elles sont en x = 0 et x = 3.

Ok parfait, maintenant je m'attaque à la question 3) b) Donc de montrer que l'équation admet deux solutions et donner un encadrement.

Donc il faut utiliser TVI :

1) f3(x) est continue sur ]-;);3] car f3(x) est dérivable
2) F3(x) est strictement croissante sur [3;+;)]
3) k= 1 est compris entre lim f3(x) = -;) quand x tend vers -;)
et f3(3) = 3^2 *3*e^-3*(3-3)

est ce que c'est bien parti ou non?

[Pierrot73]

Oui, le TVI est justifié. Par contre, il faut être très clair les hypothèses. Par exemple, bien rappeler la continuité, ainsi que les intervalles où la fonction est strictement monotone. C'est quoi le "k" dont tu parles ?

Ainsi :

Tu as étudié les variations de f3 dans la question 3.a., donc tu connais son domaine de définition, de dérivabilité, ses limites et son maximum f(3) = 1.344...

Donc, si on résume :
- f3 est continue et dérivable sur R
- f3 est croissante sur ]-;);3] et strictement décroissante sur ]3;+;)[
- ses limites respectives en -;) et +;) sont -;) et 0 et elle admet un maximum supérieur à 1 en x = 3

L'application du TVI permet de conclure à une solution de f3(x)=1 sur l'intervalle ]-;);3], et à une seconde sur ]3;+;)[.

[letravailleur13]

Oui, le TVI est justifié. Par contre, il faut être très clair les hypothèses. Par exemple, bien rappeler la continuité, ainsi que les intervalles où la fonction est strictement monotone. C'est quoi le "k" dont tu parles ?

Ainsi :

Tu as étudié les variations de f3 dans la question 3.a., donc tu connais son domaine de définition, de dérivabilité, ses limites et son maximum f(3) = 1.344...

Donc, si on résume :
- f3 est continue et dérivable sur R
- f3 est strictement croissante sur ]-;);3] et strictement décroissante sur ]3;+;)[
- ses limites respectives en -;) et +;) sont -;) et 0 et elle admet un maximum supérieur à 1 en x = 3

L'application du TVI permet de conclure à une solution de f3(x)=1 sur l'intervalle ]-;);3], et à une seconde sur ]3;+;)[.

Vous voulez dire quoi par " , et à une seconde sur ]3;+;)[. "

[Pierrot73]

Vous voulez dire quoi par " , et à une seconde sur ]3;+;)[. "

et à une seconde solution de f3(x)=1 sur ]3;+;)[.

[letravailleur13]

et à une seconde solution de f3(x)=1 sur ]3;+;)[.

Ah d'accord, sur ma calculatrice, quand j'écris donc la fonction : x^2 * e^-x * ( 3 - x) ensuite je fais apparaitre la courbe, je vois bien qu'elle s'annule mais quand je mets " G solo" "root" qui normalement me donne les valeurs me donne rien, et donc je n'arrive pas à comprendre comment vous trouvez f3(x) = 1, 344

[Pierrot73]

Ah d'accord, sur ma calculatrice, quand j'écris donc la fonction : x^2 * e^-x * ( 3 - x) ensuite je fais apparaitre la courbe, je vois bien qu'elle s'annule mais quand je mets " G solo" "root" qui normalement me donne les valeurs me donne rien, et donc je n'arrive pas à comprendre comment vous trouvez f3(x) = 1, 344

Attention, tu confonds la fonction et sa dérivée !
- fonction initiale : f3(x) = x^3 * e(-x)
- dérivée : f3'(x) = x^2 * e^-x * ( 3 - x)
Il t'est demandé de trouver les solutions de l'équation f3(x) = 1 et non f3'(x) = 1. Donc tu dois tracer f3 et non f3' sur ta calculatrice ...

Tu confonds également l'image et l'antécédent !
- antécédent : valeur de x.
- image : valeur de f(x).
Donc, lorsque j'écris que f3(3) = 1.344, est-ce que je parle d'une image ou d'un antécédent ?

[letravailleur13]

Attention, tu confonds la fonction et sa dérivée !
- fonction initiale : f3(x) = x^3 * e(-x)
- dérivée : f3'(x) = x^2 * e^-x * ( 3 - x)
Il t'est demandé de trouver les solutions de l'équation f3(x) = 1 et non f3'(x) = 1. Donc tu dois tracer f3 et non f3' sur ta calculatrice ...

Tu confonds également l'image et l'antécédent !
- antécédent : valeur de x.
- image : valeur de f(x).
Donc, lorsque j'écris que f3(3) = 1.344, est-ce que je parle d'une image ou d'un antécédent ?

d'une image ?

[Pierrot73]

Oui c'est bien une image, donc la valeur se situe sur l'axe des y. Dans notre cas, il s'agit en plus de la valeur maximum que peut prendre la fonction f3 sur R. Ce maximum sur y est atteint pour x = 3.