Dérivée, taux d'accroissement

[Deadlyfrezzee]

Bonsoir,

J'ai des difficultés à résoudre ce problème:

"Une échelle longue de 5 mètres est appuyée contre un mur. Quand l'extrémité posée sur le sol est à une distance de 4 mètres du mur, l'échelle glisse à une vitesse de 2 m/s. À quelle vitesse l'extrémité appuyée contre le mur glisse-t-elle alors vers le bas ?"

[Pierrot73]

Bonsoir,

J'ai des difficultés à résoudre ce problème:

"Une échelle longue de 5 mètres est appuyée contre un mur. Quand l'extrémité posée sur le sol est à une distance de 4 mètres du mur, l'échelle glisse à une vitesse de 2 m/s. À quelle vitesse l'extrémité appuyée contre le mur glisse-t-elle alors vers le bas ?"

Bonjour,

J'imagine que le sol et le mur font un angle droit, sinon ton exercice va se compliquer un minimum

La première chose, c'est trouver l'équation qui te donne la distance qui sépare le pied de ton échelle du mur. Cette distance, qui croît de 2 m/s, peut être formalisée par la fonction f(x) = 4 + 2 * x, avec 4 m la distance initiale et 2 * x la distance rajoutée au bout de x secondes.

Tu sais que les éléments "échelle-mur-sol" forment un triangle rectangle, l'angle droit étant formé par le mur et le sol. Ce qui t'intéresse c'est la vitesse à laquelle l'extrémité de l'échelle posée sur le mur descend vers le sol. Grâce à Pythagore, tu vas pouvoir exprimer l'évolution de la distance "échelle-sol" en fonction de x. Après, il te suffit de te rappeler que la vitesse v est la dérivée de la distance.

[Deadlyfrezzee]

Donc si je fais les calculent ça me donne:

coté sol: f(x) = 2x+4
coté mur: g(x) = ax+3

J'ai la relation: (2x+4)^2 + (ax+3)^2 = 25
Ce qui donne: 4x^2 + (ax)^2 + 16x + 6ax = 0

La dérivée donne: 8x + 2a^2x + 16 + 6a = 0

A l'instant 0 donc f'(0) = 16 + 6a = 0
a = -8/3 donc sa vitesse sera de 8/3 m/s ???

[Pierrot73]

Donc si je fais les calculent ça me donne:

coté sol: f(x) = 2x+4
coté mur: g(x) = ax+3

J'ai la relation: (2x+4)^2 + (ax+3)^2 = 25
Ce qui donne: 4x^2 + (ax)^2 + 16x + 6ax = 0

La dérivée donne: 8x + 2a^2x + 16 + 6a = 0

A l'instant 0 donc f'(0) = 16 + 6a = 0
a = -8/3 donc sa vitesse sera de 8/3 m/s ???

J'ai un souci avec l'énoncé du problème. Faut-il trouver la vitesse moyenne de l'extrémité de l'échelle sur les 3 m qu'elle parcourt (il s'agira d'un nombre réel strictement positif), ou bien faut-il exprimer la vitesse en tout point de ces 3 m (il s'agira alors d'une fonction décrivant une vitesse non-linéaire) ?

1. Cas de la vitesse moyenne :

Notons d la distance échelle-sol. On a f(x) = 2x + 4, la fonction qui décrit la distance échelle-mur.
Pour x = 0, f(x) = 4 et d = 3
Pour d = 0, f(x) = 5 donc x = 1/2
Ainsi, l'échelle aura glissé 0.5 secondes avant que sa seconde extrémité touche le sol. Cette seconde extrémité aura mis 0.5 sec pour parcourir 3 m, soit une vitesse moyenne de 6 m/s.

2. Cas de la vitesse en tout point du trajet (ce sur quoi je suis parti ce matin) :

On a toujours f(x) = 2*x + 4
Pour éviter de trouver une vitesse négative, je propose de décrire la distance qui sépare l'échelle de sa position initiale, soit "3 - (distance parcourue)".
Soit g la fonction qui décrit cette distance. Avec Pythagore, on trouve :


Donc la vitesse de l'échelle en tout point du mur s'obtient par le calcul de la dérivée de g. A la constante 3 près, g est la composition des fonctions et . Cela donne :



Reste la question de comment interpréter ton énoncé ...

[Deadlyfrezzee]

Il s'agit bien du cas 2: "Cas de la vitesse en tout point du trajet"

Mais je trouve pas la même chose lors du calcule de la dérivée, j'ai:

g'(x) = (-4x-8) / ((25-(2x+4)^2))^0.5

[Pierrot73]

Tu as dérivé , alors que j'ai dérivé , d'où le facteur (-1) entre ton résultat et le mien.

Mais comme spécifié dans mon message, j'ai pris le parti d'avoir une vitesse positive, donc j'ai étudié la distance "3 - (distance parcourue)". Maintenant, puisque l'échelle va vers le sol, elle parcourt bien l'axe des ordonnées du haut vers le bas, donc une vitesse négative dans ton repère (càd ton résultat) est tout à fait juste selon moi Pour imager, une voiture qui roule en marche arrière aura une vitesse négative si on considère un axe x qui a pour sens "coffre -> capot"

[Deadlyfrezzee]

Super merci