Algèbre Linéaire

[guiks21]

Bonjour, j'aurais besoin d'aide pour un exercice sur le quel je bloque :

Soit l’opérateur différentiel D: f -> D(f) = (x^2 + 1)*f''(x)+2xf"(x) - 6f(x) , défini sur
l’espace vectoriel E = R[x] des polynômes à coefficients réels.
On note en(x) = xn^n

1) Montrer que D est linéaire
2) Calculer D(en) et en déduire que D est un endomorphisme de F = R3[x]
3) Ecrire la matrice de D dans la base canonique de F ; calculer son rang, et en déduire la dimension de KerD
4) Résoudre matriciellement l’équation différentielle D(p)+ 3p = 3x^2 - 2 d’inconnue p

1) Deux vecteurs u et v, et on montre que f(u+v)=f(u)+f(v) mais j'arrive a rien
2) Je remplace x par en dans D(f) mais ça donne rien
3) La je vois pas du tout
4) Non traitée ( mais je comprend pas non plus )

Merci de vos réponses ou idées pour avancées.

[Robot]

Bon, tu te fourvoies depuis le début : tu as l'air de penser que l'opérateur dont on parle est une fonction de . Non, c'est une fonction de (une fonction de fonction, quoi).
Par exemple, montrer la linéarité de , c'est montrer que . Et calculer , c'est remplacer par dans la définition de .
A ta décharge, l'énoncé est fautif. L'égalité est incorrecte (à gauche une fonction, à droite un nombre). Ce genre d'abus ne peut que créer la confusion.

[zygomatique]

salut

et je vois deux fois des f" (f seconde) ...