Exercice Médiatrice 1er S

[Benjamindu14]

Bonjour à tous, je suis nouveau sur le forum et j'aimerais de l'aide pour un exercice de mon DM :we:
Il s'agit de montrer, dans un repère orthonormé, ou A et B ont pour coordonnées respectives (xa;ya) et (xb;yb) que : M(x;y) E D[AB] (x-xa)²+(y-ya)² = (x-xb)²+(y-yb)²
Alors j'ai répondu ainsi :
AM = BM
ce qui signifierait que M est le milieu de AB et donc qu'il appartient au segment [AB], mais je me dit aussi qu' il pourrait aussi se trouver sur la médiatrice car elle est constituée de l'ensemble des points du plan qui sont équidistants des extrémités de ce segment, et dans ce cas le point M n'appartiendrait pas à [AB]
Voila je suis un peu perdu, je ne sais pas comment démontrer que M(x;y) E D[AB] (x-xa)²+(y-ya)² = (x-xb)²+(y-yb)², et apprécierait avec grande joie votre aide ! :zen:

[chan79]

Bonjour
La médiatrice d'un segment [AB] est l'ensemble des points équidistants de A et B.

M appartient à la médiatrice de [AB] ssi MA²=MB²

[Carpate]

Bonjour à tous, je suis nouveau sur le forum et j'aimerais de l'aide pour un exercice de mon DM :we:
Il s'agit de montrer, dans un repère orthonormé, ou A et B ont pour coordonnées respectives (xa;ya) et (xb;yb) que : M(x;y) E D[AB] (x-xa)²+(y-ya)² = (x-xb)²+(y-yb)²
Alors j'ai répondu ainsi :
AM = BM
ce qui signifierait que M est le milieu de AB ettrès donc qu'il appartient au segment [AB], mais je me dit aussi qu' il pourrait aussi se trouver sur la médiatrice car elle est constituée de l'ensemble des points du plan qui sont équidistants des extrémités de ce segment, et dans ce cas le point M n'appartiendrait pas à [AB]
Voila je suis un peu perdu, je ne sais pas comment démontrer que M(x;y) E D[AB] (x-xa)²+(y-ya)² = (x-xb)²+(y-yb)², et apprécierait avec grande joie votre aide ! :zen:

Tu as omis de dire (mais on le devine) que tu notes D[AB] por la médiatrice de [AB]
M(x;y) milieu de [AB] est un cas particulier de AM = BM et se traduit par


Que représente pour toi ?

[Benjamindu14]

D'accord merci j'ai compris :zen: :zen:

[mathelot]

Eh bien la distance AM non ?

oui, son carré.

[Benjamindu14]

Merci, ensuite on me demande de déduire que D[AB] admet une équation cartésienne de la forme

(xb-xa)x+(yb-ya)y+c=0
je ne comprend pas comment on pourrait déduire...
J'ai essayé de calculer le coeff directeur du segment AB mais je pense pas être sur la bonne voie...

[chan79]

Merci, ensuite on me demande de déduire que D[AB] admet une équation cartésienne de la forme

(xb-xa)x+(yb-ya)y+c=0
je ne comprend pas comment on pourrait déduire...
J'ai essayé de calculé le coeff directeur du segment AB mais je pense pas être sur la bonne voie...

Pars de l'égalité précédente et développe.
Les carrés se simplifient.

[mathelot]

(x-xa)²+(y-ya)² = (x-xb)²+(y-yb)²

en développant, et se simplifient

[Benjamindu14]

Merci à vous :we:

[Benjamindu14]

Dois-je utiliser les identités remarquables ? Je tombe sur longue expression qui me parait pas trop crédible...

[chan79]

Dois-je utiliser les identités remarquables ? Je tombe sur longue expression qui me parait pas trop crédible...

Essaie d'abord avec A(2;1) et B(4;5) pour voir ce qu'il se passe.

Tu dois arriver à:

(a-b)²=a²-2ab+b² bien-sûr

[Benjamindu14]

Oui en effet je trouve ce résultat, cela serait -il suffisant pour démontrer ?

[chan79]

cela serait -il suffisant pour démontrer ?

Non, mais maintenant, tu le refais avec , etc

[Benjamindu14]

Ok mais ça vas pas être facile. Bon je te remercie de ton aide et de l'aide des autres :zen: :we: .Bonne soirée !