Simplification suites

[Ang3lina]

Bonjour à tous,

Je suis en pleine résolution d'un problème mathématiques, et malgré le fait que j'ai trouvé la bonne réponse (j'espère^^) la méthode n'est pas bonne puisque trop longue et trop compliquée.

Je vous présente ci-joint l'énoncé ainsi que mon travail, et merci d'avance pour vos réponses

http://img11.hostingpics.net/pics/194211Questionsuites.png

Bonne journée,

Angelina

[ampholyte]

Bonjour,

Ton raisonnement est juste mais tu peux simplement un peu :

nbhabitants en 1951 = nbhabitants en 1950 + nbarrivant + nbnaissance - nbdepart

nbhabitants en 1951 = nbhabitants en 1950 + nbhabitants1950 * 2% + nbhabitants1950 * 3% - 800

nbhabitants en 1951 = 1.05 * nbhabitants en 1950 - 800

[Ang3lina]

Merci beaucoup :)

Mais...ça ne fait plus une suite mais une fonction, non ?

Edit : je me suis trompée ^^ Du coup ça donne :
On pose P_n la population de la ville à l’année 1950+n, avec P_0=300 000.
P_n=1.05n×300 000-800

[ampholyte]

Justement, c'est une suite.

Si on regarde pour l'année 1952.

nbhabitants en 1952 = 1.05 * nbhabitants en 1951 - 800
nbhabitants en 1952 = 1.05 * (1.05 * nbhabitants en 1950 - 800) - 800

Pour 1953 :
nbhabitants en 1953 = 1.05 * nbhabitants en 1952 - 800
nbhabitants en 1953 = 1.05 * (1.05 * nbhabitants en 1951 - 800) - 800
nbhabitants en 1953 = 1.05 * (1.05 * (1.05 * nbhabitants en 1950 - 800) - 800) - 800

Donc on peut définir la suite Un tel que :

avec u0 = 300 000

Je pensais que la formule serait amenée dans les prochaines questions ^^

[Ang3lina]

Super, c'est tout pile ce qu'il me fallait pour comprendre ! Merci beaucoup !

Oh une dernière question : est-ce qu'on peut écrire :
U_n+1 = 1.05n - 800 ?

[ampholyte]

Super, c'est tout pile ce qu'il me fallait pour comprendre ! Merci beaucoup !

C'est bon tu as l'air d'avoir compris après ton edit, bravo =).

[Ang3lina]

J'ai un soucis :

au départ, en faisant toute la série de calculs, j'ai trouvé 479 200 habitants au premier janvier 1951.
En utilisant la formule je trouve 314 200.

Je ne comprends plus :mur:

[ampholyte]

Alors attention non, ce n'est pas pareil d'écrire 1.05n et 1.05 Un car Un représente le nombre actuel alors que n représente le rang de la suite.

Tes réponses ne sont pas bonnes dans ton premier post.

Par exemple le nombre de nouveaux arrivants est :
300 000 * 2% = 6000

Le nombre de naissance est de :
300 000 * 3% = 9000

Le nombre de décès :
800

Donc en 1951 on aura : 300 000 + 9000 + 6000 - 800

[Ang3lina]

Super merci beaucoup !

Et cette suite avec est géométrique ou arithmétique ?
j'ai l'impression qu'elle est géométrique mais comment le prouver?

[ampholyte]

Une suite est géométrique si et seulement si :

avec q la raison.

Est-ce que cela se vérifie dans ton cas ?


Une suite est arithmétique si et seulement si :

avec r la raison.

Est-ce le cas ici ?

[Ang3lina]

Je ne suis pas sûre pour P_n

[ampholyte]

Attention tu ne peux pas simplifier ici, ce serait trop simple =).

Si tu regardes la forme de ta suite :



On ne peut pas exprimer sans faire intervenir pn. Donc la suite n'est pas géométrique.


Exemple de suite géométrique :


Exemple de suite arithmétique :

[Ang3lina]

J'ai essayé avec une suite quelconque définie par :




Est-ce juste?

[ampholyte]

Non ce n'est pas bon car Pn +1 et Pn ne sont pas pareil ! (sauf si Pn est une suite constante mais c'est un cas très particulier).

[Ang3lina]

Mais je ne comprends pas... Comment trouver U_n alors que je n'ai que U_n+1 ?
Dans cette par exemple :

[ampholyte]

En fait tu as tout ce qu'il te faut pour calculer le terme suivant.

Par exemple si je veux calculer u1 :

u1 = 1.05u0 - 800

u2 = 1.05u1 - 800

u3 = 1.05u2 - 800

etc...

Est-ce que pourrais mettre l'ensemble des questions de l'exercice car il n'y a que la première question, ce qui est assez difficile de voir vers où l'exercice t'emmene =).

[Ang3lina]

Merci beaucoup pour ton aide

Alors voilà l'énoncé complet :
http://img15.hostingpics.net/pics/896389Enonc.png

Et maintenant mes frêles réponses :
http://img15.hostingpics.net/pics/304071Mesrponses.png

[ampholyte]

Ok on reprend :

3a) Ce n'est pas bon, la simplification est fausse.

Il y a une factorisation qui n'est pas forcément évidente, je te le confirme.


On sait que :


On calcule le rapport :



qn est donc une suite géométrique de raison 1.05

Pour rappel si un est une suite géométrique de raison q alors

En appliquant cette propriété tu devrais pouvoir répondre à la 3b)

Une fois que tu as qn en fonction de n, tu sais que tu peux donc exprimer pn en fonction de n.

4) Avec ce que tu auras trouvé précedemment tu devrais pouvoir t'en sortir.

[Ang3lina]

Merci =)

Donc :
Question 3) b)
Exprimer puis en fonction de n.

Si est une suite géométrique de raison q alors .
Ici avec .

On en déduit que ... qu'en déduit-on ? ^^

[ampholyte]

Tu as montré que qn est géométrique donc on peut écrire :

q0 = p0 - 16 000 = 284000





Donc :