Calcul d'une série double sans Fubini

[Gentlegiant]

Bonjour à tous,
Puisque je suis nouveau sur ce forum je commence par me présenter rapidement, Je m'appelle Damien et je suis étudiant en M1 recherche.
J'étudie actuellement dans le cadre de mon TER les formes modulaires, ma principale référence est le cours d'arithmétique de Jean-Pierre Serre, je vous met un lien du scan :
https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~marin/une_autre_crypto/Livres/Serre_cours_d%5C%27atithmetique.pdf

La proposition qui me pose problème est le calcul de la série H (page 154/155), Il est à noter que :
-la somme porte sur tous les couples de Z² sauf (0,0)
-la série n'est pas absolument convergente, on ne peut donc pas appliquer Fubini pour permuter les indices (C'est d'ailleurs de la différence entre H1 et H que découle la preuve ou se trouve ces résultats)
-la série est à valeur dans le demi-plan de Poincaré

La seule indication qui m'a était donné est d'utiliser l'identité (29) (page 149) qui nous donne le développement de Laurent de cotan en 0.

Je bloque complètement :mur: Je fais donc appelle à votre aide,
par avance, merci.

[mathelot]

bonjour,

as tu essayé une majoration façon Cauchy-Schwarz



?

il me semble que H est normalement convergente sur des compacts de C
qui ne rencontrent pas les entiers

[Gentlegiant]

Je ne suis pas sur que Cauchy-Schwarz soit utile ici, je pense plutôt qu'il faut utiliser la relation qu'il donne à la fin de la page (d'autant qu'on cherche une valeur explicite, pas une majoration). De plus la série n'est définie que sur le demi-plan de Poincaré, qui ne contient pas les entiers.
Sur ce, bon courage et merci si tu te penches sur ce problème