"Défi" Intégrales T*S

par **dogblue** » 18 Fév 2015, 16:28

Bonjour à tous.J'ai un exercice à faire en DM pour la rentrée. J'ai réussi le finir, mais je trouve que ma façon de calculer la primitive n'est pas très rigoureuse. J'aimerais avoir vos avis.
Voici l'énoncé :

Défi : f est la fonction affine définie sur R par f(x)=-3X+2 et g la fonction définie par g(x)= f(f(f(...f(X)...))) où f apparaît 2015 fois.
Calculer l'intégrale de 0 à 1 de G(X)

Voici mes résultats :
f(X)=-3X+2
J'ai d'abord calculé f[f(X)]=9X-4
Puis f(f[f(X)])=-27X+14

J'ai trouvé comme formule 3^n X -[(3^n -1)/2] (pour f apparaissant n fois) pour la généraliser il faut utiliser la récurrence sauf que je ne voit pas comment mettre en place une récurrence.

Pour la suite, une fois la récurrence établie, donc que la formule est validée pour n=2015, il reste à calculer la primitive puis l'intégrale, ce qui nous donne 1/2.

Voila donc si vous pouvez m'aider pour la récurrence :) Merci d'avance, bonne journée ! =)

par **Robic** » 18 Fév 2015, 17:04

Bonjour ! Pour mettre en place la récurrence, il faut des notations adaptées. Tu pourrais par exemple définir une "suite de fonctions" de la façon suivante :
-

- et pour tout n >= 1 :

Est-ce que tu vois comment initier la récurrence et comment écrire l'hypothèse de récurrence ?

par **siger** » 18 Fév 2015, 17:04

bonjour

il semble que la formule generale que tu as trouvé soit fausse
1- elle ne donne pas une alternance de signe avec n il manque un (-1)^n en facteur sans doute
2- le terme constant pour n = 3 donne 13 et non 14
de meme il faut sans doute introduire un coefficient pour obtenir quelque chose du genre 3^n -(-1)^n qui conduit a ajouter ou retrancher 1 selon la valeur de n

ensuite il faut montrer que f(n+1) est bien egale. 3f(n) + 2
f( n+1) = (3^(n+1) *x -[...] = 3(3^n) x - 3[...] ....

par **mathelot** » 18 Fév 2015, 17:11

i) calculer g'.
ii) Utiliser le point fixe de f défini par l'équation: f(c)=c

par **annick** » 18 Fév 2015, 17:20

@ siger : excuse-moi, mais je suis bien d'accord avec dogblue pour le 14 de n=3 (et non 13 comme tu le dis)

f1=-3x+2
f2=-3f0+2=-3(-3x+2)+2=9x-6+2=9x-4
f3=-3f1+2=-3(9x-4)+2=-27x+12+2=-27x+14

par **chombier** » 18 Fév 2015, 17:40

Il y a une suite arithmetico-géométrique là dedans, sais-tu les résoudre ? Ca peut aider.

Fixons x_0 un réel quelconque.

En définissant

par :

et

Ainsi,

Ta suite est définie par son premier terme x_0 et une relation de récurrence définie par une fonction affine : c'est une suite arithmético-géométrique.

On sait la résoudre avec une suite auxiliaire

qui est géométrique si a est bien choisi.

Quand tu auras u_n en fonction de n et x_0, tu pourras calculer g(x0) = u_2015

EDIT : j'ai trouvé a = 1/2 et

. A vérifier...

par **siger** » 18 Fév 2015, 17:48

RE

annick a écrit:@ siger : excuse-moi, mais je suis bien d'accord avec dogblue pour le 14 de n=3 (et non 13 comme tu le dis)

f1=-3x+2
f2=-3f0+2=-3(-3x+2)+2=9x-6+2=9x-4
f3=-3f1+2=-3(9x-4)+2=-27x+12+2=-27x+14

Bien sur je suis d'accord, mais ......
je parlais de la formule generale donne par dogblue qui a ((3^n)-1)/2 pour le terme constant soit (27-1)/2=13 pour n = 3
d'ou .......

par **chombier** » 18 Fév 2015, 17:49

Il y a plus rapide mais il faut connaitre (deviner ?) le résultat à l'avance :

En posant

(n fois)

Il doit être possible de montrer par récurrence que l'intégrale de g entre 0 et 1 ne dépend pas de n et vaut 1/2.

par **chombier** » 18 Fév 2015, 17:58

On s'aperçoit d'ailleurs, en intégrant, que quelle que soit la valeur de n, l'intégrale de g entre 0 et 1 vaudra 1/2. Etonnant !

par **mathelot** » 18 Fév 2015, 18:13

soit g.

Comme f est affine, la dérivation de f donne un facteur -3
d'où

d'où

(K: constante d'intégration)

Comme il existe un point fixe tel que f(c)=c,
c est point fixe de g.

on calcule

à l'aide du point fixe c:

par **zygomatique** » 18 Fév 2015, 19:04

chombier a écrit:On s'aperçoit d'ailleurs, en intégrant, que quelle que soit la valeur de n, l'intégrale de g entre 0 et 1 vaudra 1/2. Etonnant !

salut

le changement de coordonnées : (translation qui conserve les aires)

X = x - 1/2
Y = y - 1/2

conduit à y = f(x) Y = -3X = h(X)

alors calculer g = f o f o ... o f n fois revient à calculer G = h o h o ... o h n fois

et intégrer g sur [0, 1] revient à intégrer G sur [-1/2, -1/2]

or h est impair donc G aussi donc l'intégrale est nulle pour tout n et donc elle est constante quelle que soit n

il en donc de même pour g et il suffit de calculer

:zen:

par **chan79** » 18 Fév 2015, 19:20

Salut
Variante pour l'intégrale

on pose

On calcule

et on trouve

et on s'aperçoit que cette suite est constante

par **chombier** » 18 Fév 2015, 19:29

mathelot a écrit:soit g.

Comme f est affine, la dérivation de f donne un facteur -3
d'où
d'où (K: constante d'intégration)

Comme il existe un point fixe tel que f(c)=c,
c est point fixe de g.

on calcule à l'aide du point fixe c:

C'est très joli. J'ai juste eu du mal à voir pourquoi g'(x) = (-3)^n :

Comme

(g_0 est la fonction identité), c'est une suite géométrique.

Très joli ! Le coup du point fixe est très bien trouvé, lui aussi !

par **chombier** » 18 Fév 2015, 19:31

chan79 a écrit:Salut
Variante pour l'intégrale

on pose

On calcule et on trouve

et on s'aperçoit que cette suite est constante

Encore plus beau !!! Bravo !!!

(par contre je crois que f^(n) dénote la dérivée nième, f^n serait préférable)

par **zygomatique** » 18 Fév 2015, 20:19

chan79 dit exactement en terme intégrale ce que je dis en terme géométrique ...

PS :: c'est exactement ce que je cherchais à faire en plus .... et j'ai merdé sur ma formule (de récurrence) .... c'est pourquoi j'ai effectué la translation ...

par **dogblue** » 18 Fév 2015, 20:20

Je n'ai pas encore lu vos réponses mais je voudrai juste corriger tout de suite une faute de frappe, qui a surement été remarquée, mais que vous n'imaginiez pas que c'est une erreur volontaire, dans la formule c'est (-3)^n et non 3^n :)

par **dogblue** » 18 Fév 2015, 20:47

Tout d'abord merci à vous d'avoir répondu. :++:
Je n'ai pas étudié tout ce qui se rapporte au point fixe, et les notations telles que "f o f o f", donc je vais éviter d'utiliser cela.

Je pensais essayer avec la technique donnée par chan79 car cela me parait simple et efficace (non pas que les autres n'aillent pas, bien au contraire :happy2: )
Juste petite remarque, cela me parait plus clair de calculer I1, puis après de mettre la forme générale de dire que c'est constant (en inversant l'ordre de lequel chan79 l'a présenté), on est d'accord que ça ne pose pas de problème ?! :lol3:

Je vais recopier tout ça au propre, normalement je n'aurais plus de questions !

Je tiens par ailleurs à vous remercier tout particulièrement pour votre aide, car -sans faire de mauvaise pub-, j'ai été sur quelques autres forum et les réponses étaient bien plus confuses. Je n'attendais même pas tant de précisions de votre part, mais merci beaucoup, et bonne soirée à vous :++:

par **zygomatique** » 18 Fév 2015, 20:50

on apprenait ça en terminale il n'y encore moins de pas longtemps (juste avant la dernière réforme)

par **chombier** » 18 Fév 2015, 20:57

zygomatique a écrit:

on apprenait ça en terminale il n'y encore moins de pas longtemps (juste avant la dernière réforme)

C'était l'époque où on coupait encore les epsilon en 4 !

par **zygomatique** » 18 Fév 2015, 21:15

ho que non les epsilon ça date d'encore plus longtemps ... qu'ils sont aux oubliettes .... surtout si en plus il fallait les couper en quatre !!!!!!

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