Suite par recurrence

[Maths04]

Bonjour

Je suis en terminale S et je bloque sur une question ou il s'agit de démontrer par récurrence que (1/2)Avec f(x)=((e^x)-1)/((e^x)-x) avec pour intervalle (0,1)

[Maths04]

Bonjour

Je suis en terminale S et je bloque sur une question ou il s'agit de démontrer par récurrence que (1/2)<un<un+1<1 j'ai u0=(1/2) et un+1=f(un)
Avec f(x)=((e^x)-1)/((e^x)-x) avec pour intervalle (0,1)

f(1/2)<f(un)<f(un+1)<f(1)
(1/2)<un+1<un+2<1

[titine]

Je suppose qu'on t'a fait démontré que f est croissante sur [0;1]
Sinon, pas de problème, il suffit de calculer la dérivée de f et et vérifier qu'elle est positive sur [0;1]

Démontrons par récurrence que :
1/2 < un < u(n+1) < 1

*Initialisation : il faut montrer que c'est vraie pour n=0 donc que 1/2 < u0 < u1 < 1
Comme u0=1/2 je suppose qu'il faut plutôt démontrer que 1/2 ;) un ;) u(n+1) ;) 1
Tu calcules u1 = f(u0) = f(1/2) et tu vérifies que tu as bien : 1/2 ;) u0 ;) u1 ;) 1
OK ?

*Hérédité :
Tu suppose que 1/2 ;) un ;) u(n+1) ;) 1 est vraie.
Alors, la fonction f étant croissante sur [0;1], elle conserve l'ordre et par conséquent :
f(1/2) ;) f(un) ;) f(u(n+1)) ;) f(1)
Or f(1/2) > 1/2 et f(1) = 1
On obtient donc :
1/2 < f(1/2) ;) u(n+1) ;) u(n+2) ;) 1
La propriété est donc bien héréditaire.

Conclusion : cette propriété est vraie pour tout entier n.