Matrice

[Ella12]

Exercice no 2
Soient A,B deux esp`eces concurrentes sur une mˆeme localit´e. On note
a(t), b(t) leurs effectifs au moment t. Les deux effectifs varient comme
da(t)= ;)a(t) + ;)b(t)
dt

db(t)= ;)a(t) + ;)b(t)
dt

où ;) = 0.2, ;) = ;)0.4, ;) = 0.25, ;) = ;)0.45 et a(0) = 20 et b(0) = 5.
1. Donnez les dimensions physiques des constantes ;), ;), ;), ;).
2. Donnez une interprétation biologique de ces constantes.
3. Ecrivez le système ci-dessus sous forme matricielle.
4. Trouvez la solution a(t), b(t) du système.



Bonjour tout le monde,

j'ai répondu aux question 1, 2, 3 mais je bloque pour trouver les solutions a(t) et b(t)


j'ai donc

dx(t)/dt= (;)a(t) + ;) b(t))
(;)a(t) + ;)b(t))

ce qui équivaut à dire
dx(t)/dt= A X(t) avec X(t) vecteur ( a(t), b(t))

mais après je bloque?

Quelqu'un pourrez m'aider à trouver a(t) et b(t)

Merci beaucoup :-)

[BiancoAngelo]

Exercice no 2
Soient A,B deux esp`eces concurrentes sur une mˆeme localit´e. On note
a(t), b(t) leurs effectifs au moment t. Les deux effectifs varient comme
da(t)= a(t) + b(t)
dt

db(t)= a(t) + b(t)
dt

où = 0.2, = 0.4, = 0.25, = 0.45 et a(0) = 20 et b(0) = 5.
1. Donnez les dimensions physiques des constantes , , , .
2. Donnez une interprétation biologique de ces constantes.
3. Ecrivez le système ci-dessus sous forme matricielle.
4. Trouvez la solution a(t), b(t) du système.



Bonjour tout le monde,

j'ai répondu aux question 1, 2, 3 mais je bloque pour trouver les solutions a(t) et b(t)


j'ai donc

dx(t)/dt= (;)a(t) + b(t))
(;)a(t) + b(t))

ce qui équivaut à dire
dx(t)/dt= A X(t) avec X(t) vecteur ( a(t), b(t))

mais après je bloque?

Quelqu'un pourrez m'aider à trouver a(t) et b(t)

Merci beaucoup

Bonjour,

Je ne suis pas sûr, ça fait longtemps que je n'ai pas vu ça.

Si on pose

Et

On a alors effectivement

Ca fait penser aux solutions :

En considérant l'exponentiation de la matrice A, ça doit être jouable.
Est-ce que ça te parle ?

Le problème avec l'exponentielle de matrice, c'est que c'est plutôt pratique avec les matrices nilpotentes (il existe une puissance de la matrice qui vaut la matrice nulle).
Donc, à voir si c'est bien ça.

Sans quoi, l'exp de matrice est définie avec la série entière de l'exp classique... Mais, je ne sais pas comment ça se passe dans le cas où ce n'est pas nilpotent.

Bref, que de vieux souvenirs, mais si ça peut te donner une piste... Sait-on jamais !

[Ella12]

Oui exactement c'est ce que j'ai pensé maius je n'arrive pas à passer de dX/dt à X(t) = \lambda e^{A t}

[BiancoAngelo]

Oui exactement c'est ce que j'ai pensé maius je n'arrive pas à passer de dX/dt à X(t) = \lambda e^{A t}

Le problème majeur serait de bien définir l'exponentielle ici (en fait tout va bien, je viens de lire que ça convergeait quelque soit la norme matricielle), en tout cas savoir si elle se calcule bien, à savoir que si on prend :

, est-ce que c'est utilisable facilement ici, pour trouver la solution. De toute façon, je pense que c'est le chemin.

Quand la matrice est nilpotente, ça va... Le "t" ne change rien à l'étude.
Si A est nilpotente, At aussi...

Le problème, ici donc, est qu'elle n'est pas nilpotente (apparemment), ni diagonale.

Je te conseille de jeter un oeil à ça : http://fr.wikipedia.org/wiki/Exponentielle_d%27une_matrice

En tout cas, ça signifie qu'il faut diagonaliser A si elle est diagonalisable, et après ça sera logiquement facile.
En plus, dans le cas d'une matrice 2x2, ça devrait se faire plutôt vite et bien !

[Ella12]

comment passe-t-on de dx(t)/dt =Ax(t) à x(t)= landa e^At

[BiancoAngelo]

comment passe-t-on de dx(t)/dt =Ax(t) à x(t)= landa e^At

En fait, j'ai mal écrit, c'était en première intention.
En relisant bien, ce qu'il faut faire c'est :

Calculer correctement, avec diagonalisation si besoin.
Et évidemment, vu qu'il y a deux fonctions, il faut deux constantes (logiquement, deux conditions initiales).

Si on écrit la matrice carrée sous la forme de deux vecteurs colonnes (disons F(t) et G(t)), on aura comme solution :



Ce résultat provient directement de ceux de la théorie sur les équa diff de la forme y' = ay avec a constant...

Je ne vais pas le démontrer, mais c'est ce qu'il faut faire.

[Ella12]

j'ai trouvé x(t)=e^(At)+une constante et pas landa e^(At)? comment je fais
Merci :we:

[BiancoAngelo]

En fait, j'ai mal écrit, c'était en première intention.
En relisant bien, ce qu'il faut faire c'est :

Calculer correctement, avec diagonalisation si besoin.
Et évidemment, vu qu'il y a deux fonctions, il faut deux constantes (logiquement, deux conditions initiales).

Si on écrit la matrice carrée sous la forme de deux vecteurs colonnes (disons F(t) et G(t)), on aura comme solution :



Ce résultat provient directement de ceux de la théorie sur les équa diff de la forme y' = ay avec a constant...

Je ne vais pas le démontrer, mais c'est ce qu'il faut faire.

Si tu veux, si on prend alors les vecteurs colonnes F et G "logiquement" définis...

[Ella12]

ok je commence à y voir un peu plus clair. Mais je ne vois pas comment on peut trouver a't) et b(t) avec e^At

[BiancoAngelo]

ok je commence à y voir un peu plus clair. Mais je ne vois pas comment on peut trouver a't) et b(t) avec e^At

Souviens toi de ce que représente X(t).

Ce que j'ai écrit revient à dire :

[Ella12]

Souviens toi de ce que représente X(t).

Ce que j'ai écrit revient à dire :

oui ça ca va . Avec vos explications c'est parfait mais je n'arrive pas à trouver le resultat. Cela me donne des résultats très bizarres

[BiancoAngelo]

oui ça ca va . Avec vos explications c'est parfait mais je n'arrive pas à trouver le resultat. Cela me donne des résultats très bizarres

Que trouves-tu ? Je t'avoue que je n'ai pas cherché à faire le calcul exactement, je t'ai montré le chemin

Quel obstacle rencontres tu ?

[Ella12]

Que trouves-tu ? Je t'avoue que je n'ai pas cherché à faire le calcul exactement, je t'ai montré le chemin

Quel obstacle rencontres tu ?

je suis perdue.

Je rajoute à la matrice A expo mais je ne comprends toujours pas

[Ella12]

Désolée je ne vois pas comment résoudre ce probleme :hein: :cry: :cry: :help: :help:

[BiancoAngelo]

Désolée je ne vois pas comment résoudre ce probleme :hein: :help: :help:

Ah.

Mais je t'ai dit, l'exponentielle de la matrice, faut la faire correctement.

Tu dois calculer , d'accord ?

Pour ça, diagonaliser la matrice te sera utile. Sais-tu le faire ?
L'intérêt de l'exponentielle de la matrice diagonale B (par ex), c'est que les coefficients de la diagonale sont les exponentielles des coefficients.

Diagonaliser A, c'est appliquer une méthode pour trouver une matrice B tel que

Et ensuite, ... et exp(B) je viens de dire deux lignes au dessus ce que c'est.

Est-ce que tout ça te parle ?

[Ella12]

Ah.

Mais je t'ai dit, l'exponentielle de la matrice, faut la faire correctement.

Tu dois calculer , d'accord ?

Pour ça, diagonaliser la matrice te sera utile. Sais-tu le faire ?
L'intérêt de l'exponentielle de la matrice diagonale B (par ex), c'est que les coefficients de la diagonale sont les exponentielles des coefficients.

Diagonaliser A, c'est appliquer une méthode pour trouver une matrice B tel que

Et ensuite, ... et exp(B) je viens de dire deux lignes au dessus ce que c'est.

Est-ce que tout ça te parle ?

Oui , je diagonalise quelle matrice

[BiancoAngelo]

Oui , je diagonalise quelle matrice

A (la matrice des coefficients alpha, beta,...) ! :we: Je vais dormir, mais logiquement tu as tout ce qu'il faut pour avancer.

Diagonalise A, comme ça tu pourras calculer son exponentielle finalement, et après il n'y aura plus grand chose à faire.

Courage et bonne soirée !