Intégrale à calculer

[kubrick73]

Salut,
je dois calculer l'intégrale de (1-cos(x))/x² entre - infini et +infini. Je sais que le résultat est Pi mais j'aimerais avoir la démonstration.
Merci d'avance!

[capitaine nuggets]

Salut,
je dois calculer l'intégrale de (1-cos(x))/x² entre - infini et +infini. Je sais que le résultat est Pi mais j'aimerais avoir la démonstration.
Merci d'avance!

Par un argument de parité relatif à la fonction , montre que calculer ton intégrale revient seulement à calculer et qu'en fait .

Ensuite, tu remarqueras surement qu'on risque d'avoir des problèmes en 0 et +\infty pour calculer .
- A l'aide d'un DL, montre que existe et est finie ;
- Sachant que est bornée, montre que existe et est finie.

Pour trouver une primitive de , il faut effectuer deux intégrations par parties visant à finir avec une intégrale contenant seulement :+++:

[BiancoAngelo]

Bonsoir, est-ce que ça aurait un intérêt de passer le cosinus en série entière et d'intervertir les signes somme et intégrale ?

Il faudrait écrire ça comment ?

D'abord étudier la série entière et sa convergence ?
Et poser ...


J'ai l'impression que ça ne marche pas ou alors que ce serait trop tordu comme il faut repasser à la limite...

Quelqu'un peut au passage m'éclairer sur ça ?

Surtout j'imagine que ça aurait un intérêt ici seulement si on arrive à "utiliser la série intégrée"... pour trouver la valeur... de l'intégrale de départ.

[kubrick73]

Par un argument de parité relatif à la fonction , montre que calculer ton intégrale revient seulement à calculer et qu'en fait .

Ensuite, tu remarqueras surement qu'on risque d'avoir des problèmes en 0 et +\infty pour calculer .
- A l'aide d'un DL, montre que existe et est finie ;
- Sachant que est bornée, montre que existe et est finie.

Pour trouver une primitive de , il faut effectuer deux intégrations par parties visant à finir avec une intégrale contenant seulement :+++:

Ok merci, mais pour la double IPP, c'est peut être évident mais je vois pas comment faire disparaitre le 1/x^2..

[Ben314]

Salut,
Je ne pense pas qu'on puisse obtenir facilement la valeur de cette intégrale.
Par contre, un truc archi classique dans ce genre de cas, c'est d'introduire un terme supplémentaire pour évacuer la division par :
où, pour tout
On vérifie que est continue sur , dérivable sur et que
Qui est de nouveau dérivable sur avec
Donc avec car
D'où avec car
et on en déduit que .

[BiancoAngelo]

Salut,
Je ne pense pas qu'on puisse obtenir facilement la valeur de cette intégrale.
Par contre, un truc archi classique dans ce genre de cas, c'est d'introduire un terme supplémentaire pour évacuer la division par :
où, pour tout
On vérifie que est continue sur , dérivable sur et que
Qui est de nouveau dérivable sur avec
Donc avec car
D'où avec car
et on en déduit que .

Super méthode ça...

Par contre, comment on justifie correctement que F(t) tend vers 0 ?
Faut majorer l'exponentielle ? Mais je ne vois pas comment vu que le x "commence" en 0.

[Ben314]

Par contre, comment on justifie correctement que F(t) tend vers 0 ?
Faut majorer l'exponentielle ? Mais je ne vois pas comment vu que le x "commence" en 0.

En fait, contrairement a ce que j'ai fait... :hum:, il faut tout justifier bien proprement....

Le fait que F et F' tendent vers 0 lorsque t->oo n'est pas bien dur a démontrer vu que dans les deux cas, la fonction avant le exp(-tx) se prolonge parfaitement en x=0 et tend vers 0 lorsque x->+oo donc, elle est bornée sur R+ par un certain M (évidement indépendant de t) et on peut majorer (en valeur absolue) l'intégrale par qui tend vers 0 lorsque t->oo.

Sinon, il y a sans doute d'autres méthodes (par exemple avec les résidus sur C, peut-être aussi avec des transformées de Fourrier ou de Laplace), mais je ne pense pas qu'on puisse l'obtenir "simplement", c'est à dire uniquement avec des changement de variables et des I.p.P.

[kubrick73]

Merci pour ta réponse. Super démo ouais!

[BiancoAngelo]

Quand on cherche la dérivée de F(t), on procède comment ? (j'ai fait ça il y a longtemps aussi...).

J'ai fait la limite de (F(t+h) - F(t))/h, et je trouve le résultat.

Mais il y a une autre façon, non ?

[BiancoAngelo]

Ah oui je viens de lire sur Wiki la dérivée...
Il faut faire la dérivée partielle selon le paramètre sous le signe intégrale tout simplement, avec les conditions vérifiées avant ... (d'après la règle de Leibniz).