Algèbre linéaire L2

[mathalhambra]

Bonsoir,

je suis en face de l'exo suivant:

Soit E un espace vectoriel de dimension n, et ;) un endomorphisme de E non-nul vérifiant ;) o ;) = 0.

1. Montrer l'inclusion Im(;));) ker(;)).

2. Soit r le rang de . Montrer que l'on a 2r<=n.

3. On suppose maintenant que E = 2. Montrer qu'il existe une base de E dans laquelle la matrice de ;) est:

0 1
0 0

Voici ce que j'ai fait, mais j'ai peur que certaine de mes démonstrations soient incomplètes ou erronées. Pourriez-vous m'éclairer. MERCI BCP!!


Im(;));)Ker(;))?
;)x;)E,y;)Im(;))=>{y;)E | y=;)(x)};)E
Or,
;););)=0=>;)y;)Im(;)),;)(y)=0
Or,
y;)Ker(;))=>{y;)E | ;)(y)=0}

Par conséquent:
Im(;));)Ker(;))

2r;)n?
r étant le rang de ;), on a par définition du rang:
r=dim(Im(;)))
Comme:
Im(;));)Ker(;))
Alors:
dim(Im(;)));)dim(Ker(;)))
Soit:
r;)dim(Ker(;)))
Or, d'après le théorème du rang:
n=dim(Im(;)))+dim(Ker(;)))
D'où:
n=r+dim(Ker(;)))
Et, comme:
r;)dim(Ker(;)))
Alors:
2r;)n

Mq il existe une base de E dans laquelle la matrice de ;) est
0 1
0 0

Comme:
;);)0
Alors:
il existe x;)E tel que: ;)(x);)0
Posons:
e_1=x et e_2=;)(x)
;););)R,
Si:
;)_1 e_1+;)_2 e_2=0
Alors:
;)_1 x+;)_2 ;)(x)=0
En appliquant ;)^2 à cette relation, on obtient:
;)(;)_1 x)+;)(;)_2 ;)(x))=0
Et, par linéarité de l'endomorphisme ;):
;)_1 ;)(x)+;)_2 ;)(;)(x))=0
Soit:
;)_1 ;)(x)=0
Et, comme:
;)(x);)0
Alors:
;)_1=0
Par ailleurs, comme ;)_1=0, on a:
0x+;)_2 ;)(x)=0
;)_2 ;)(x)=0
Et, comme: ;)(x);)0, alors:
;)_2=0
On a montré que:
;)_1 e_1+;)_2 e_2=0 => ;)_1=0 et ;)_2=0
Par conséquent:
(e_1,e_2) est une famille libre en dimension 2. C'est donc une base de R^2 et la matrice de ;) dans cette base est bien
0 1
0 0

[Ben314]

Salut,
Je pense que je vais pas avoir le courage de tout commenter.

Im(;));)Ker(;))?
x;)E,y;)Im(;))=>{y;)E | y=;)(x)};)E (1)
Or,
;);)=0=>;)y;)Im(;)),;)(y)=0
Or,
y;)Ker(;))=>{y;)E | (y)=0} (2)

Vu cette partie là, je pense que, pour le moment, le symbolisme mathématique, c'est... pas gagné... donc a mon avis, pour le moment, tu devrait peut-être t'abstenir et en revenir a du français :
Le (1) commence pas mal : Tu prend un x quelconque de E puis tu écrit "si y est dans Im(phi) ..." alors que... des y tu n'en a pas pris...
La suite est pas mal non plus : déjà de considérer comme tu le fait "l'ensemble des y tels que..." alors que tu as déjà utilisé la lettre y précédemment pour désigner un élément particulier (à savoir un élément de Im(phi)), c'est pas génial du tout. Et la fin, c'est le "pompon" : ce que tu déduit de ton hypothèse, c'est que (je site) "l'ensemble des y de E tels que blablabla est une partie de E" : ça c'est effectivement de l'affirmation utile.
C'est un peu comme si un type te disait avec une voie bien posée : "attention, en faisant quelques hypothèses hardie, j'en arrive à la conclusion que l'ensemble des bonbons rouges contenu dans ce paquet de bonbon constitue.... (roulement de tambours) une partie de l'ensemble des bonbons du paquet (fin des roulements de tambours... :marteau:)"

Après, il y a aussi le (2) qui est pas mal non plus.
Je te le lit :
"Si y est un élément du noyau de phi alors l'ensemble des y de E tels que phi(y)=0"
En vert, une forme classique (en math ou en Français) : une implication.
Entre le si et le alors, tout va bien, on trouve une "affirmation" c'est à dire une phrase qui peut être vraie ou fausse et qui contient forcément un verbe (en bleu).
Par contre, après le alors, ça se gâte : normalement, on aimerais bien trouver la même chose, c'est a dire une phrase avec un verbe sauf que... y'a pas de verbe...
Le même type qu'au dessus, avec sa voie toujours aussi posée, t'affirme cette fois que "Demain, s'il fait beau, alors l'ensemble des canards"

Bon, redevenons sérieux : je te donne ce que j'aurais tendance a considérer comme une rédaction "propre" :

On veut montrer que l'ensemble Im(;)) est contenu dans l'ensemble Ker(;)), c'est a dire que tout élément de Im(;)) est un élément (particulier) de Ker(;)).
Considérons un élément quelconque y de Im(;)).
Le fait que y soit dans Im(;)) signifie (par définition de Im(;))) qu'il existe un élément x de E tel que y=;)(x).
On a donc (y)=;)(;)(x))=;););)(x)=0 vu que l'application ;);) est supposée être égale à l'application nulle.
Enfin, par définition de l'ensemble Ker(;)), le fait que (y)=0 signifie que y est dans Ker(;))

Et, a mon avis, pour le moment, je te conseillerais de rédiger de cette façon là (ça permet plus facilement de vérifier qu'il y a bien au moins un verbe par phrase... :ptdr:)

[mathalhambra]

Merci beaucoup .C vrai, le symbolisme, c pas gagné (et je ne trompe pas un œil averti)!!! Je redédige en français et poste à nouveau.