Continuité uniforme

[Judepomme]

Bonjour,
Pouvez-vous m'éclairer : Si h est une fonction continue et f et telle que f(x)=sup ( h([x,x+1]) ) est-ce que f est continue ? J'aurais tendance à dire oui mais je n'en suis pas sûr...
( pour que je comprenne, auriez-vous un exemple où h est continue et g n'est pas uniformément continue ? )merci

[Ben314]

Salut,
Concernant la première question, oui, si f est continue alors h le sera aussi.

Perso. je le ferais avec des : pour montrer que h est continue en , tu utilise le fait que est continue en , en et en qui est tel que (qui existe vu que est un segment).
Il y a peut-être plus simple.

[Ben314]

Salut,
Concernant la première question, je suis à peu près sûr que, si f est continue alors h le sera aussi.

Perso. je le ferais avec des : pour montrer que h est continue en , tu utilise le fait que est continue en , en et en qui est tel que (qui existe vu que est un segment).
Il y a peut-être plus simple.

Concernant la deuxième question, il me semble que (quasi) la même preuve marche aussi pour montrer que, si h est uniformément continue sur R alors f l'est aussi...

[Judepomme]

D'accord merci,moi je pensais utiliser la définition de continuité uniforme pour h en prenant un x et y appartenant à [x,x+1] sauf que je voyais pas comment exhiber f(x) et f(y)..

[BiancoAngelo]

La question posée, ce n'est pas plutôt montrer f continue ?

[Ben314]

La question posée, ce n'est pas plutôt montrer f continue ?

Oui : je me suis gouré entre f et h dans le post. précédent. :marteau:
Je sais pas pourquoi (les habitudes sans doute), l'énoncé me perturbe dans ce sens là : j'aurais plutôt écrit "soit f une fonction continue" puis "on pose g=sup..." (dans l'ordre alphabétique quoi... :hum: )

[BiancoAngelo]

Oui : je me suis gouré entre f et h dans le post. précédent. :marteau:
Je sais pas pourquoi (les habitudes sans doute), l'énoncé me perturbe dans ce sens là : j'aurais plutôt écrit "soit f une fonction continue" puis "on pose g=sup..." (dans l'ordre alphabétique quoi... :hum: )

D'accord :ptdr: Oui parfois les lettres troublent :hum:

[BiancoAngelo]

Ben, tu peux me dire si je me trompe dans ce raisonnement ?

Etudier la continuité pourrait se résumer à savoir si la limite à gauche est égale à la limite à droite, vu qu'on est avec une fonction à une variable réelle.

En gros, il faut regarder la limite quand h tend vers 0+ de :

sup(h( [x+h,x+1+h])) et de sup (h ( [x-h,x+1-h])).

Pour la première, je peux dire que c'est sup( sup(h( ]x;x+1]) ; sup( h( [x+1;x+1+h]));

lim sup( h( [x+1;x+1+h])) = h(x+1) (en raisonnement par l'absurde, il ne peut pas être situé ailleurs sur ce segment qui rétrécit...)

Donc la limite à droite est sup(h( ]x;x+1])
De même, la limité à gauche est sup (h ( [x;x+1[).

Sauf que ces limites sont égales aux limites des intervalles fermés, vu que h continue en x et x+1.

Donc ces limites sont égales.

D'où la continuité de f.

[Ben314]

Pour la première, je peux dire que c'est sup( sup(h( ]x+h;x+1]) ; sup( h( [x+1;x+1+h]));
lim sup( h( [x+1;x+1+h])) = h(x+1) (en raisonnement par l'absurde, il ne peut pas être situé ailleurs sur ce segment qui rétrécit...)

Sur le principe, c'est bon, mais il y a une erreur (en rouge) : le premier morceau contient aussi du "h" donc il faut le traiter de la même façon que le deuxième.
Ensuite, l'argument en bleu risque d'être considéré comme "pas assez formel" : la phrase en question donne l'impression que c'est le même sup pour tout les h alors que, si par exemple h est croissante au voisinage de x+1 alors le sup est h(x+1+h).
Autre défaut : on ne voit pas clairement où intervient le fait que la fonction h est continue.

[BiancoAngelo]

Sur le principe, c'est bon, mais il y a une erreur (en rouge) : le premier morceau contient aussi du "h" donc il faut le traiter de la même façon que le deuxième.
Ensuite, l'argument en bleu risque d'être considéré comme "pas assez formel" : la phrase en question donne l'impression que c'est le même sup pour tout les h alors que, si par exemple h est croissante au voisinage de x+1 alors le sup est h(x+1+h).
Autre défaut : on ne voit pas clairement où intervient le fait que la fonction h est continue.

D'accord, merci.
Ça peut servir de première analyse du problème.
Par contre, même si c'est h(x+1+h), vu qu'on passe à la limite et que la fonction est continue, ça donne bien h(x+1) quoi qu'il arrive.