Nombre d'or + suite

[Nadiaidan]

Bonjour à tous,
voila cette exercice un peu long en 4 partie à faire, nous avons fait les trois premières parties en cours avec le professeur, et nous devons le finir tout seul, malheuresement je n'arrive pas à le faire seule pouvez vous m'aider svp Voici l'énoncé:

A] Le nombre d'or
1) Résoudre dans R l'équation x²-x-1 = 0
La solution positive, notée est appelée "nombre d'or"
2) Démontrer les égalités:
phi²= phi+1, 1+(1/phi)=phi ,(1+phi)= et (phi²+1)/(2phi-1)= phi
B] La suite (an)
On pose a0=2, pour tout n0, an+1= 1+(1/an).
1) Montrer que, pour tout n>=1, 3/2<=an<=2
2) Prouver que, pour tout n>=1, |an+1-phi|<= 4/9 |an-phi|. (Utiliser la question A]2))
3) En déduire, par récurrence, que pour n>=1 :
|an-phi<=|(4/9)^n-1|a1-phi| puis que:
|an-phi|<= (4/9)^n (pour n>=1)
4) Prouver que (an) est convergente et déterminer sa limite.
5) Déterminer un entier n1, tel que, si nn1, alors:
|an-phi|10^-6
C]la suite (bn)
on pose b0=2 et, pour tout n>=0,(bn+1)=(bn+1)
1)montrer que pour tout n>=0,phi<=(bn+1)<=(bn)<=2.
2)endeduire que la suite(bn) est convergente.
3) a l'aide de la question A)2) et de l'expression conjuguée,montrer que,pOur tout n>=1:
0<=(bn+1)-phi<=(1/3)*((bn)-phi).
4)en deduire que , pour tout n>=1, 0<=(bn)-phi<=((1/3)^n).
quelle est la limite de (bn)?
5)determiner un entier n2 tel que , si n>=n2,alors:
|(bn)-phi|<=10^-6


D] la suite (cn)
on pose c0=2 et pour tout n>= 0 : cn+1=(c²n+1)/(2cn-1)
1) calculer c1 et c2
2a ) on pose pour tout x>1/2 f(x)=(x²+1)/(2x-1)
verifier que f(phi)=phi et f'(phi)=0 puis montrer que la fonction f est croissante sur l'intervalle [phi,+infini[.
b) en deduire que pour tout n>=0 :phi<= cn+1<=cn<=2
(raisonner par recurrence )
c) prouver alors que (cn) est convergente
3)montrer que pour tout n>= 0 : cn+1-phi<=1/2(cn-phi)²
4) en deduire que pour tout n>=0 : 0<=cn-phi<=(1/2)^1+2+2²+...+2^n a l'aide dun raisonnement par récurrence . quelle est la limite de (cn) ?
5) le resultat obtenu sur tableur montre que u8 = environ phi a 10^14. montrer qu'en fait d'apres le resultat de la question d4 on a c8= envirion phi a 10-153pres !

Est ce qu'il serait possible d'avoir des pistes pour toute les questions, car je galère vraiment.
Merci!!!

[Manny06]

Bonjour à tous,
voila cette exercice un peu long en 4 partie à faire, nous avons fait les trois premières parties en cours avec le professeur, et nous devons le finir tout seul, malheuresement je n'arrive pas à le faire seule pouvez vous m'aider svp Voici l'énoncé:

A] Le nombre d'or
1) Résoudre dans R l'équation x²-x-1 = 0
La solution positive, notée est appelée "nombre d'or"
2) Démontrer les égalités:
phi²= phi+1, 1+(1/phi)=phi ,(1+phi)= et (phi²+1)/(2phi-1)= phi
B] La suite (an)
On pose a0=2, pour tout n0, an+1= 1+(1/an).
1) Montrer que, pour tout n>=1, 3/2=1, |an+1-phi|=1 :
|an-phi=1)
4) Prouver que (an) est convergente et déterminer sa limite.
5) Déterminer un entier n1, tel que, si nn1, alors:
|an-phi|10^-6
C]la suite (bn)
on pose b0=2 et, pour tout n>=0,(bn+1)=(bn+1)
1)montrer que pour tout n>=0,phi=1:
0=1, 0=n2,alors:
|(bn)-phi|= 0 : cn+1=(c²n+1)/(2cn-1)
1) calculer c1 et c2
2a ) on pose pour tout x>1/2 f(x)=(x²+1)/(2x-1)
verifier que f(phi)=phi et f'(phi)=0 puis montrer que la fonction f est croissante sur l'intervalle [phi,+infini[.
b) en deduire que pour tout n>=0 :phi= 0 : cn+1-phi=0 : 0<=cn-phi<=(1/2)^1+2+2²+...+2^n a l'aide dun raisonnement par récurrence . quelle est la limite de (cn) ?
5) le resultat obtenu sur tableur montre que u8 = environ phi a 10^14. montrer qu'en fait d'apres le resultat de la question d4 on a c8= envirion phi a 10-153pres !

Est ce qu'il serait possible d'avoir des pistes pour toute les questions, car je galère vraiment.
Merci!!!

donne tes premiers résultats par exemple la résolution de l'équation du 2° degré qui n'est pas
difficile pour les relations sur phi n'oublie pas qu'il est solution de x²-x-1=0
donc (phi)²-phi-1=0........

[Nadiaidan]

donne tes premiers résultats par exemple la résolution de l'équation du 2° degré qui n'est pas
difficile pour les relations sur phi n'oublie pas qu'il est solution de x²-x-1=0
donc (phi)²-phi-1=0........

Ah oui excusez moi je ne vous ai pas mis ce que j'ai déjà fait.
1) c1=5/3 et c2=34/21
2) je trouve bien f(phi)=phi et f'(phi)=0
puisque j'ai trouvé que phi était une es solution de l'équation x²-x-1=0 donc je peux en déduire que f'(phi)=0

mais comment faire pour montrer que la fonction f est croissante sur l'intervalle [phi;+infini[ ?

Merci d'avoir répondu

[Manny06]

Ah oui excusez moi je ne vous ai pas mis ce que j'ai déjà fait.
1) c1=5/3 et c2=34/21
2) je trouve bien f(phi)=phi et f'(phi)=0
puisque j'ai trouvé que phi était une es solution de l'équation x²-x-1=0 donc je peux en déduire que f'(phi)=0

mais comment faire pour montrer que la fonction f est croissante sur l'intervalle [phi;+infini[ ?

Merci d'avoir répondu

f'(x)=2(x²-2x-2)/(2x-1)² a le signe de x²-2x-2 trinome dont les racines sont phi et q avec q<0
ce trinome est négatif entre les racines et positif à l'exterieur ce qui te donne comme signe de dérivée sur [0;+infini[ - 0 +

[Nadiaidan]

Ah oui d'accord merci beaucoup!
Ensuite pour les questions suivantes j'ai fait:
B)
Initialisation:
C1= 5/3 C2= 34/21 on a donc bien phi <= C(n+1) <= Cn <= 2
La propriété est initialisée.

Hérédité:
Soit n un entier naturel >= 0. Supposons la propriété vrai pour cette entier.
Et montrons alors que: phi <= C(n+2) <= Cn <= 2
(ensuite ici je ne sais pas trop si c'est ça)
f croissante et C(n+1) <= Cn donc f(Cn+1) <= f(Cn) donc C(n+2) <= Cn+1
de plus C0=2 donc C(n+2)<= Cn<= C0 <=> C(n+2)<= Cn<= 2
de plus la fonction f est croissante sur [phi;+infini[
donc f(phi) <= f(2) <=> phi<= f(2) (puisque on sait que f(phi)=phi
et f(2) = 5/3 = C1

donc: phi <= C(n+2) <= Cn <= 2

C) on a une suite décroissante (mais comment je pourrais le prouver?) de plus elle est minorée en phi , donc la suite est convergente.

Par contre pour les questions suivantes je bloque totalement...

En tout cas, merci pour votre aide :)

[Manny06]

Ah oui d'accord merci beaucoup!
Ensuite pour les questions suivantes j'ai fait:
B)
Initialisation:
C1= 5/3 C2= 34/21 on a donc bien phi = 0. Supposons la propriété vrai pour cette entier.
Et montrons alors que: phi C(n+2) phi<= f(2) (puisque on sait que f(phi)=phi
et f(2) = 5/3 = C1

donc: phi <= C(n+2) <= Cn <= 2

C) on a une suite décroissante (mais comment je pourrais le prouver?) de plus elle est minorée en phi , donc la suite est convergente.

Par contre pour les questions suivantes je bloque totalement...

En tout cas, merci pour votre aide

phi<= cn+1<=cn<=2
si tu as démontré ça tu as démontré que la suite est décroissante et minorée par phi
donc elle a une limite L

[Nadiaidan]

Une limite L qui est phi, c'est ça?

Et pour les questions suivantes?

[Manny06]

Une limite L qui est phi, c'est ça?

Et pour les questions suivantes?

les questions suivantes servent à montrer que cette limite est phi

[Nadiaidan]

Et comment faire pour montrer que pour tout n>= 0 : cn+1-phi<=1/2(cn-phi)² ?

[Manny06]

Et comment faire pour montrer que pour tout n>= 0 : cn+1-phi<=1/2(cn-phi)² ?

par récurrence

[Nadiaidan]

C'est obligatoire d'utiliser la récurrence? on ne peut pas faire autrement?

[Ben314]

Salut,
A mon avis, une récurrence n'est pas utile ici : tu utilise uniquement la définition de plus... un peu de calculs... (et une des relations du A)2)...)

[Nadiaidan]

Salut, tout d'abord merci pour ta réponse :)
J'ai fait ceci:
C(n+1) = (Cn²+1) / (2Cn-1)
C(n+1)-phi = [(Cn²+1) / (2Cn-1)] - [(phi²+1) / (2phi-1)]
= (Cn²-phi²) / (2Cn-2phi)
ensuite je suis bloquée. pouvez vous me dire si je suis sur la bonne piste ? et commen faire?

[Ben314]

Ben.... faudrait peut-être retourner au collège pour voir que (sauf cas très exceptionnels... :zen:)

Donc, il vaudrait mieux en revenir au bon vieux "je réduit au même dénominateur" (et ce n'est pas la peine de remplacer phi par quoi que ce soit pour le moment : tu verra une fois la fraction réduite ce qu'il convient de faire)

[Nadiaidan]

Ah oui oups effectivement aha... ^^
Cependant je n'arrive toujours pas à trouver ce qu'il faut...

[Manny06]

Ah oui oups effectivement aha... ^^
Cependant je n'arrive toujours pas à trouver ce qu'il faut...

(Cn²+1)/(2Cn-1)-phi=[Cn²+1-phi(2Cn-1)]/(2Cn-1)=(Cn²-2phiCn+phi+1)/(2Cn-1)
ensuite utilise phi²=phi+1......

[Ben314]

(Cn²+1)/(2Cn-1)-phi=[Cn²+1-phi(2Cn-1)]/(2Cn-1)=(Cn²-2phiCn+phi+1)/(2Cn-1)
ensuite utilise phi²=phi+1......

Oui, et ça te fait une identité remarquable au numérateur.