Parabole

[van1]

bonjour,

Je dois faire un exercice, j'ai réussi (je pense ) le début mais je bloque à la fin, voici l'intitulé :

"On considère la parabole P d'équation y=x²+x+1 et la droite D d'équation y=-3x+p, où p est un paramètre réel. Quelle doit être la (ou les) valeur(s) du paramètre p de telle sorte que la parobole et la droite :

a) aient exactement un point d'intersection (on déterminera les coordonnées de ce point) ?

-La parabole et la droite n'ont qu'un seul point d'intersection :

on pose l'équation : D=R

x²+x+1=-3x+p
x²+x+1-(-3x+p)=0
x²+x+1+3x-p=0
x²+4x+1-p=0

-On considère le trinôme x²+4x+1-p=0

=b²-4ac
=4²-4(1-p)
=16-4(1-p)
=12+4p

Le discriminant doit être égal à zéro pour que cette parabole ait une racine double et donc qu'elle n'ait qu'un point d'intersection avec la droite

donc 12+4p=0
4p=-12
p=-3

La valeur du paramètre p doit être de -3.

Le trinôme admet une solution double

x0= -b/2a = -2

y=-3(-2)+3 = 9

Donc A(-2;9)

b)aient exactement deux points d'intersection (on determinera les coordonnées de ces points )?

-La parabole et la droite ont deux points d'intersections

On pose l'équation : D=R

x²+x+1=-3x+p

D'après la question a) on trouve

x²+4x+1-p=0

- On considère le trinome x²+4x+1-p=0

D'après la question a)on sait que delta=12+4p

Le discriminant doit etre supérieur à zéro pour que cette parabole ait 2 racines disctinctes et donc qu'elle ait deux points d'intersection avec la droite

donc 12+4p >0
4p >-12
p>-3

La valeur du paramètre p doit être supérieur à -3.

Le trinôme admet 2 racines disctinctes

x1 = (-b-racine delta)/2a
=(-4-racine delta)/2
= 2+(3 racine delta /2)

x2= (-b+racine delta)/2a
= (-4+racine delta)/2
= 2- racine delta delta /2

y=-3x+p
=-3(-2- racine delta/2)-4

la je bloque pour trouver la réponse

y=-3x+p
= -3(-2+ racinde delta/2)-4

je bloque également

pouvez vous m'aider ? merci

[messinmaisoui]

y=-3(-2)+3 = 9
c'est pas bon car p= -3

[ophel62bp]

Bonjour,
b) tu as la bonne réponse mais on peut simplifier :
Pour x1=(-4-racine(12+4p))/2 = -2-(racine(4(3+p))/2 soit x1=-2- racine(3+p).
même principe pour x2 qui vaut donc -2+ racine(3+p).

[van1]

je n'ai pas compris désoler

[ophel62bp]

Remplace Delta par 12+4p et simplifie au maximum, tu dois obtenir x1 = -2- racine(3+p) et x2 = -2+ racine(3+p)...

[van1]

comment passe t-on de

x1= -2-(racine 4(3+p))/2

à x1= -2-(racine 3+p) ? merci

[ophel62bp]

En fait, on sort le 4 à l'extérieur de la racine qui devient donc 2:
x1= -2-(racine 4(3+p))/2
x1= -2-( 2(racine (3+p)) )/2
le "2" qui multiplie la racine est divisé par 2 donc ces deux "2" s'éliminent donc on obtient :
x1= -2-(racine 3+p)
c'est un peu abstrait comme ça mais essaye de le faire au brouillon, ce sera plus concret je pense

[van1]

daccord j'ai compris merci beaucoup !! donc ensuite pour trouver les coordonnées des deux points je remplace dans l'équation de la droite y= -3x+p

y= -3(-2-(racine3+p)) -3
= 6-(racine 3+p) -3
= 3-(racine 3+p)

est-ce correct ? merci

[van1]

pour l'autre point :

y= -3(-2+(racine3+p)) -3
= 6+(racine 3+p) -3
= 3+(racine 3+p)

est-ce correct ? merci

[ophel62bp]

Attention aux signes : c'est 6+(racine 3+p)-3

[van1]

oui m'ai c'est pour le second point que l'on met : 6+(racine 3+p)-3

[van1]

oups je vient de voir mon erreur,

mais en fait quand dans l'équation de la droite y= -3x+p je remplace le p par -3 ais-je le droit ? car j'ai dit que le paramètre p devait etre strictement supérieur a -3

[van1]

j'ai refais mes calculs :

on sait que x1 = -2 -(racine 3+p)
x2 = -2 +(racine 3+p)

y= -3x+p
= -3 (-2-(racine 3+p)) -3
= 6 +3(racine 3+p) -3
= 3 +3(racine3+p)

y= -3x+p
= -3 (-2+(racine 3+p)) -3
= 6 -3(racine 3+p) -3
= 3 -3(racine3+p)

est-ce exact ? :) merci

[van1]

donc :

B(-2 -(racine 3+p) ; 3 +3(racine3+p)) et C (-2 +(racine 3+p) ; 3 -3(racine3+p) )

[ophel62bp]

je pense qu'il faut laisser p et ne pas le remplacer par -3...

[van1]

mais le résultat est un peut bizarre ,,, pour la question a) j'ai des nombres entier, et la j'ai des résultat avec plein de racines ,,, j'ai du me tromper quelque part

[van1]

Quelque peut il me dire si mes résultat sont bon ?

[ophel62bp]

non pour la a) tu as montré que p=-3 lorsque Delta=0 donc là tu peux le mettre mais pour la b) tu ne peux pas le remplacer car ça peut être une infinité de nombre...

[van1]

je suis un peu perdu, si je résume mes résultat pour a) sont bon mais pas ceux de b) ? merci

[van1]

je ne comprend pas ? merci