Matrices

[celineee19]

Bonjour ,
J'ai un exercice à rendre et je suis bloquée à la 3eme question..
Voici l'énoncé:
Soit A =
(0 0 0)
(2 0 0)
(0 1 0)
1) Calculer A² et A au cube et en déduire les puissances de A.
2 On pose B = 2I+A. Déterminer les puissances de la matrice B.
3) Soit (an), (bn) et (cn) les suites définies pour n entier naturel par:
an+1 = 2an
bn+1 = 2an + 2bn
cn+1 = bn + 2cn Ceci est un système
Déterminer an, bn et cn en fonction de n, a0, b0 et c0.
3) J'ai posé Xn = (an/bn/cn ) (c'est un système) et nous devions vérifier que Xn+1= BXn

J'ai donc fait cela puis j'ai commencé la récurrence pour montrer que Xn= B^nX0 pour tout entier naturel n.
Initialisation:
X0= B^0X0 donc X0= IX0 . Propriété vraie pour n=0
Hérédité: on suppose qu'il existe un entier n naturel appartenant à N tel que : Xn=B^nX0
Démontrons que Xn+1= B^n+1X0
On sait que Xn+1= BXn ..
Et la je suis bloquée ..

[mrif]

Tu remplaces par

[fatal_error]

salut,

Xn=B^nX0
Démontrons que Xn+1= B^n+1X0
On sait que Xn+1= BXn ..

donc

cela dit, une récurrence pour ca, c'est un peu overkill!!

[celineee19]

On m'a demandé de faire une récurrence..
Et avec cette récurrence je suis censé trouvé a0, b0 et c0?

[mrif]

On m'a demandé de faire une récurrence..
Et avec cette récurrence je suis censé trouvé a0, b0 et c0?

Non, s'il n'y a pas d'autres questions.

[celineee19]

Oui mais je dois déterminer an, bn, et cn en fonction de n,a0, b0 et c0 ..

[Ben314]

Salut,
Normalement, à la question 2), tu as calculé les puissances de la matrice B ; c'est peut être le moment de t'en servir..

[celineee19]

Je multiplie donc la matrice B^n avec la matrice X0?
La matrice B^n =
( 2^n 0 0)
n*2^n 2^n 0
n(n-1)2^n-1 n*2^n-1 2^n

Je suis désolée je ne sais pas comment écrire une matrice dans ce forum...

[fatal_error]

énoncé:

Déterminer an, bn et cn en fonction de n, a0, b0 et c0.

tu as trouvé

avec
Supposons que la premiere ligne de la matrice B^n soit 1 2 3
alors a_n = (1 2 3)*X_0 = a_0+2b_0+3c_0
idem tu as exprimé a_n en fonction de a_0, b_0, c_0

[Ben314]

Je multiplie donc la matrice B^n avec la matrice X0?
La matrice B^n =
( 2^n 0 0)
n*2^n 2^n 0
n(n-1)2^n-1 n*2^n-1 2^n

Je suis désolée je ne sais pas comment écrire une matrice dans ce forum...

Ca a l'air tout a fait correct.
A la limite, calcule a1,b1,c1 et a2,b2,c2 avec les formules de réccurence pour voir si ton résultat "colle" dans les cas particuliers n=0, n=1 et n=2.

[celineee19]

Xn = (2^n*a0 0 0 )
( n*2^n*a0 2^n*b0 0 )
( (n(n-1)2^n-1)*a0 n*2^n-1*b0 2^n*c0 )