Dm sur les complexes

[elsa1402]

Alors voila j'ai un exercice dans mon Dm pour la rentrée et je bloque un peu beaucoup, ça serait sympa de me dire par ou commencer et quoi faire :we:

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct (O;u;v)
A tout point d'affixe z, z different de -i, on associe le point f(M) d'affixe Z telle que Z=(iz+2)/(z+i)

1) Soit A le point d'affixe za=3/2+1/2i Montrer que l'affixe de f(A) est un réel
2) Déterminer l'affixe du point B tel que f(B)=B' avec zb'=2-i
3) On pose z=x+iy avec x et y réels. Exprimer en fonction de x et y la partie réelle et la partie imaginaire de Z
4) Déterminer et construire
a) l'ensemble (E) des points M du plan tels que Z imaginaire pur
b) l'ensemble (F) des points M du plan tels que Z réel

Merci d'avance pour votre aide :help:

[mathelot]

bonjour,

déja , lis bien ton cours.
si tu manques de cours théorique, va voir ici , rubrique complexes

[mathelot]

Alors voila j'ai un exercice dans mon Dm pour la rentrée et je bloque un peu beaucoup, ça serait sympa de me dire par ou commencer et quoi faire :we:

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct (O;u;v)
A tout point d'affixe z, z different de -i, on associe le point f(M) d'affixe Z telle que Z=(iz+2)/(z+i)

1) Soit A le point d'affixe za=3/2+1/2i Montrer que l'affixe de f(A) est un réel


2) Déterminer l'affixe du point B tel que f(B)=B' avec zb'=2-i
3) On pose z=x+iy avec x et y réels. Exprimer en fonction de x et y la partie réelle et la partie imaginaire de Z
4) Déterminer et construire
a) l'ensemble (E) des points M du plan tels que Z imaginaire pur
b) l'ensemble (F) des points M du plan tels que Z réel

Merci d'avance pour votre aide :help:

indications
pour le (1) , remplacer la variable z par (3/2)+(1/2)i dans Z=f(z)



Se poser la question : A quelles conditions ;
soit le savoir par coeur ou le redémontrer.

pour la (2), réfléchir s'il est possible de calculer z fonction de Z
z=g(Z)

pour la (3), on obtient une expression de Z avec du x,y et i.

Il s'agit de séparer la partie réelle et la partie imaginaire de Z.

pour (4), annuler re(Z) et Im(Z) donnera une équation cartésienne, dans le plan,
de l'ensemble des antécédents


rappel

pour montrer que z réel:

ou
ou
ou

[elsa1402]

indications
pour le (1) , remplacer la variable z par (3/2)+(1/2)i dans Z=f(z)



Se poser la question : A quelles conditions ;
soit le savoir par coeur ou le redémontrer.

pour la (2), réfléchir s'il est possible de calculer z fonction de Z
z=g(Z)

pour la (3), on obtient une expression de Z avec du x,y et i.

Il s'agit de séparer la partie réelle et la partie imaginaire de Z.

pour (4), annuler re(Z) et Im(Z) donnera une équation cartésienne, dans le plan,
de l'ensemble des antécédents

D'accord donc pour le 1 il suffit juste de remplacer me z par l'expression de a qu'on me donne ça ferait donc : i(3/2+1/2)+2/(3/2+1/2i)+i ?

[mathelot]

D'accord donc pour le 1 il suffit juste de remplacer me z par l'expression de a qu'on me donne ça ferait donc : ( i(3/2+1/2i)+2 )/(3/2+1/2i)+i ?

...........
réduire le numérateur (resp. le dénominateur) par distributivité de la multiplication sur l'addition.

remplacer i^2 par -1

[elsa1402]

...........
réduire le numérateur (resp. le dénominateur) par distributivité de la multiplication sur l'addition.

remplacer i^2 par -1

D'accord je l'ai fait et je trouve 1/3 donc c'est forcement un réel ?

[mathelot]

oui, 1/3 est réel (ie, une affixe d'un point du plan de la droite x'ox)

il est possible de se représenter les nombres complexes comme:

- un seul nombre z=x+iy
(on calcule directement avec z,z'..) sans passer par sa partie réelle (resp. imaginaire) x et y

- un point du plan euclidien

(on identifie carrément un nombre complexe et un point du plan euclidien muni d'un r.o.n)

[mathelot]

pour la (2) , essayer de calculer z en fonction de Z.

[elsa1402]

pour la (2) , essayer de calculer z en fonction de Z.

En fait j'ai essayer de le calculer mais je tombe sur le même resultat de zb que zb' , est ce normal ?
La question 3 je l'ai réussi aussi du coup pour la dernière question avec la partie imaginaire et la partie réelle trouvée de la question 3 je dois résoudre une équation Im(Z)=0 et Re(Z)=0 je sais pas si c'est cela mais c'est ce que j'ai compris en tout cas :hein:

[mathelot]

Z=(iz+2)/(z+i)

1) Soit A le point d'affixe za=3/2+1/2i Montrer que l'affixe de f(A) est un réel
2) Déterminer l'affixe du point B tel que f(B)=B' avec zb'=2-i
3) On pose z=x+iy avec x et y réels. Exprimer en fonction de x et y la partie réelle et la partie imaginaire de Z
4) Déterminer et construire
a) l'ensemble (E) des points M du plan tels que Z imaginaire pur
b) l'ensemble (F) des points M du plan tels que Z réel

Merci d'avance pour votre aide :help:

Z(z+i)=(iz+2)

c'est du 1er degré en z

[elsa1402]

Z(z+i)=(iz+2)

c'est du 1er degré en z

Je suis censé trouvé ça pour la question 2 ?
Et aussi avec les réponse de la 4 ça me donne pour l'ensemble (E) des points M du plan réel
3x/x²+(y+1)² =0 donc 3x=0 et x²+(y+1)²different de 0 On a donc 3x=0 et x=0 vérifie 3x=0 donc (E) est la droite d'equation 3x=0 privée du points A(0;-1)

[mathelot]

Je suis censé trouvé ça pour la question 2 ?

pour la (2)
remplace Z par 2-i dans l'homographie z=g(Z), réciproque de Z=f(z)

pour la (4), mieux vaut travailler avec les images réciproques par f,
qui donnent une équation cartésienne de l'ensemble des solutions,

plutôt qu'avec z=g(Z) qui en donne une équation paramétrique

[mathelot]

Z=(iz+2)/(z+i)

4) Déterminer et construire
a) l'ensemble (E) des points M du plan tels que Z imaginaire pur
b) l'ensemble (F) des points M du plan tels que Z réel

On note z* le conjugué de z.


Z imaginaire pur ssi Z*+Z=0