Fonction exponentielle

[Thildou28]

Bonjour, j'ai un DM à faire et je suis bloquée à la deuxième partie:

Le modèle de Malthus
Une première approche consiste à considérer que les ressources de la population étudiée sont illimitées. On fait alors l’hypothèse que l’accroissement de la population d’une année à l’autre est proportionnel à l’effectif de cette population.

1. Modèle discret (j'ai déjà réussi toute cette question)
Pour tout entier naturel n, on appelle Pn l’effectif de la population à l’année n de l’étude Pn est un réel positif). D’après l’hypothèse sur l’accroissement de la population, il existe une constante réelle k > 1,dépendant des taux de mortalité et de natalité telle que,pour tout entier naturel n :
Pn+1 Pn = kPn.
a. Justi;)er que la suite (Pn)ainsi dé;)nie est géométrique.
b. Indiquer le sens de variation de la suite (Pn) en fonction de la valeur de k.
c. Préciser la limite de la suite (Pn)en fonction de la valeur de k.
d. Interpréter les résultats des questions b. et c. en termes d’évolution de population.

2. Modèle continu (je bloque ici)
Soit f(t) la population à l’instant t de l’étude (on supposera que f dérivable sur [0 ; +;)[). On fait l'hypothèse suivante: pour tout instant t, le taux de variation de la population, f'(t), est proportionnel à la population f(t). On admet donc qu'il existe un réel strictement positif k tel que pour tout t appartenant à [0 ; +;)[, f;)(t)= kf(t).
a. Soit g la fonction définie sur [0 ; +;)[ par g(t)=f(t)exp(-kt). Montrer que g est dérivable sur [0 ; +;)[ et calculer g'(t). En déduire que g est constante sur [0 ; +;)[.
b. Soit a=f(0). Montrer que pour tout t appartenant à [0 ; +;)[, f(t)=aexp(kt). Déterminer les variations de la fonction f.
c. Préciser la limite de f(t) en +;) en fonction de la valeur de k.
d. Interpréter les résultats des questions b et c en termes d'évolution de population.

Les questions en rouge sont celles que je n'ai pas trouvé.
Pour la 2)a), j'ai trouvé: f(t) est dérivable sur [0 ; +;)[ et la fonction exponentielle est dérivable et sa dérivée est égale à elle-même donc g(t) est dérivable. g'(t)=u'v+uv'=f'(t) x exp(-kt) + f(t) x exp(-kt).

Merci d'avance pour votre aide

[Monsieur23]

Aloha,

Pour la 2a, la dérivée de Exp(-kt), c'est -k Exp(-kt) (dérivée de Exp(u) quand u est une fonction).
Ensuite, tu sais que f vérifie f' = kf, donc tu peux remplacer f' par kf dans la dérivée de g.

[Thildou28]

Merci beaucoup! Donc pour la dérivée de g ça me donne: exp(-kt)(kf(t)-kf(t))?
Et pour la b, pourriez vous me donner des pistes? Je ne vois pas comment y arriver...

[Monsieur23]

Ok pour la dérivée de g, mais tu peux encore simplifier, pour montrer qu'elle est nulle.

Pour la suivante, tu sais que g est constante : pour tout x, g(x) = g(0). Combien fait g(0) ?

[Thildou28]

Je dirais g(0)=a

[Monsieur23]

Ouais, donc tu as pour tout t, a = f(t) Exp(-kt). Si tu multiplies par Exp(kt) de chaque côté, ça te donne quoi ?

[Thildou28]

Ca me donne bien f(t)=aExp(-kt). Merci beaucoup!

[Thildou28]

Est-ce que a est un nombre positif non nul? Car pour déterminer les variations de f, on sait que la fonction exponentielle est strictement croissante sur R mais comment peut-on conclure sur les variations si on ne connait pas la valeur de a?