DM Divisibilité et nombre premier

[ScottJohnson]

Déterminer les entiers n strictement positifs tel qu'il existe n entiers succesifs dont la somme peux être un nombre premier.

Je trouve cette exercice compliqué, je ne voit pas par quel coté attaquer :mur:

[chan79]

Déterminer les entiers n strictement positifs tel qu'il existe n entiers succesifs dont la somme peux être un nombre premier.

Je trouve cette exercice compliqué, je ne voit pas par quel coté attaquer :mur:

salut
n=1 convient car 2=2
n=2 convient car 2+3=5
n=3 ne convient pas car a+a+1+a+2=3a+3=3(a+1)
n=4 ne convient pas car a+a+1+a+2+a+3=4a+6=2(2a+3)
etc

[beagle]

c'est difficile s'il y en a, faut les trouver.

cela pourrait ètre plus facile s'il n' y en avait pas beaucoup,
on dit : "y en a pas trop!"

bon prenons n=1, cela semble marcher.

...

si n= 3 ou n= 5 ou,...
alors prenons 3 consécutifs, on va avoir divise 3 reste 0, divise 3 reste 1 et divise 3 reste 2
0+1+2= 3 cela semble divisible par 3

pour n= 5,
on aura des modulos5: 0+1+2+3+4 = 10, bref ça va se diviser par 5

essaye n=7 pour voir ...

ensuite faudra démontrer ...

[ScottJohnson]

On a rien vu de ce qui est modulo pour le moment, et en effet le montrer en les faisant tous me semble ... long

[beagle]

On a rien vu de ce qui est modulo pour le moment, et en effet le montrer en les faisant tous me semble ... long

modulo c'est causer riche,
on peut jouer à divisibilité dès l'école primaire ...

[ScottJohnson]

n=7 on a 1+2+3+4+5+6+7=28 (car c'est une somme de nombre STRICTEMENT positifs, 0 n'est donc pas inclu)
Et 28 est pas premier ..

[beagle]

n=7 on a 1+2+3+4+5+6+7=28 (car c'est une somme de nombre STRICTEMENT positifs, 0 n'est donc pas inclu)
Et 28 est pas premier ..

7 ne marche pas non plus,

relis le message de Chan et son écriture, elle est plus parlante.

a + (a+1) + (a+2) + (a+3) + (a+4)
pour n= 5 par exemple
cela va te donner 5a + (0+1+2+3+4)
or le (0+1+2+3+4) est divisible par 5 ...

[ScottJohnson]

n=11
11a+(0+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10) = 11a+55, divisible par 5....
Y'a pas un formule avec une suite ou autre qui permettrait de conclure ?
Ou la réponse est simplement n={1;2} (Cependa

[ScottJohnson]

*désolé du double post, problème de Tab

(Cependant il existe une infinité de nombre premiers, donc on peux pas formellement le démontrer)

[beagle]

n=11
11a+(0+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10) = 11a+55, divisible par 5....
Y'a pas un formule avec une suite ou autre qui permettrait de conclure ?
Ou la réponse est simplement n={1;2} (Cependa

pour n
on aura
a + (a+1) + (a+2)+ ...
avec n termes
donc on aura
na + [0+1+2+3+...+(n-1)]

il existe une formule qui donne la valeur de la somme de 1 à n,
ici (n-1) mais bon ...
que vaut cette somme :...

PS: je te laisse avec Chan car je dois bosser, je ne peux pas assurer le SAV,...

CHAN, CHAN, stp tu peux revenir?

[ScottJohnson]

La somme de n entiers consécutifs à partir de a est : a +(a+1)+(a+2)+...+(a+n-1) = n(a+n-1)/2
Donc :
soit n/2 = 1 et (a+n-1) est premier.
soit n est premier et (a+n-1)/2 = 1 .
ça me semble correct !

[beagle]

La somme de n entiers consécutifs à partir de a est : a +(a+1)+(a+2)+...+(a+n-1) = n(a+n-1)/2
Donc :
soit n/2 = 1 et (a+n-1) est premier.
soit n est premier et (a+n-1)/2 = 1 .
ça me semble correct !

J'aurais plutot dit :
na + n(n-1)/2 = n [a + (n-1)/2]

[ScottJohnson]

Donc la somme fait un nombre premier si
n=1
ou
(n-1)/2=0
Donc n =1

Une seule possibilité du coup ?

[beagle]

euh je crois que je me suis gourré.
en fait non la formule était bonne et différente de ton résultat:
na + n(n-1)/2

[ScottJohnson]

Ou c'est moi, attends
Soit n=1,
soit (n-1)/2=1, et pas a 0
n-1=2
n=3

Ce résultat n'es pas plus correct, mais bon ^^'
Y'aurai pas un truc avec le a ?

[beagle]

euh je crois que je me suis gourré.
en fait non la formule était bonne et différente de ton résultat:
na + n(n-1)/2

n est pair, alors n=2k

2ka + 2k(2k-1)/2
k est diviseur, donc cela oblige à avoir k=1, donc n pair marche que avec n=2

mais 2a + 2(1)/2= 2a+1 doit ètre premier
par exemple n= 2 et a=4 2x4+1=9 ne sera pas premier
4+5 = 9

bon reste n est impair

[chan79]

Ou c'est moi, attends
Soit n=1,
soit (n-1)/2=1, et pas a 0
n-1=2
n=3

Ce résultat n'es pas plus correct, mais bon ^^'
Y'aurai pas un truc avec le a ?

Si n est pair (n=2p), la somme de n termes consécutifs est
a+(a+1)+(a+2)+... +(a+2p-1)=2pa+(1+2+ ...+2p-1)=2pa+(2p-1)(2p)/2=2pa+p(2p-1)
=p(2a+2p-1)
si p est différent de 1 (soit n différent de 2) cette somme est divisible par p.
Fais pareil si n est impair
grillé :zen:

[beagle]

n impair,
alors c'est n-1 qui est divisé par 2, et n est diviseur
donc cela oblige à avoir n=1

alors 1xa + 1(1-1)/2 = a
cela oblige à avoir a est premier
c'est trivial mais bon si a est premier, alors a est est premier (bonjour le 1 entier successif!*)

* si paquito passe par là on est mort!!!

[zygomatique]

Déterminer les entiers n strictement positifs tel qu'il existe n entiers succesifs dont la somme peux être un nombre premier.

Je trouve cette exercice compliqué, je ne voit pas par quel coté attaquer :mur:

salut

MDR

8 + 9 = 17 ....
9 + 10 = 19 ....
http://www.ilemaths.net/forum-sujet-615099.html

[Ben314]

Déterminer les entiers n strictement positifs tel qu'il existe n entiers succesifs dont la somme peux être un nombre premier.

Si l'énoncé a été recopié correctement, je ne vois nulle part écrit que les entiers que l'on somme doivent être strictement positifs (seul l'entier n doit l'être).
Donc, à mon sens, pour n=3, on peut écrire 0+1+2=3 est premier donc n=3 est solution.
On peut même se demander si les n entiers que l'on ajoute doivent être des entiers naturels ou si on peut prendre des entiers relatifs vu que rien ne le précise.
Et si on accepte les relatif, y'a plus trop de soucis, par exemple -1+0+1+2=2 est premier donc n=4 est solution, -1+0+1+2+3=5 est premier donc n=5 est solution (mais ni 8 ni 9 ne sont solutions)