Loi binomiale

[analia]

Bonjour,

Je me permets de solliciter une aide à propos d'un exercice relatif à la loi binomiale. L'énoncé est le suivant:

Dans une revue, on peut lire: "On estime à 60,5% le pourcentage de français partant au moins une fois en vacances dans le courant de l'année".
On désigne par X la variable aléatoire qui à chaque prélèvement de 100 personnes prises au hasard parmi la population française associe le nombre de personnes de ce prélèvement qui ne partent pas en vacances dans le courant de l'année.

1. Justifier que la loi de probabilité suivie par la variable X est une loi binomiale. Préciser les paramètres de cette loi.
2. Calculer l'espérance et l'écart type de la variable aléatoire X
3. Calculer la probabilité que 45 personnes parmi les 100 ne partent pas en vacances dans le courant de l'année.

Il me semble qu'on justifie que X suit une loi binomiale de paramètre n et p par le fait qu'on répète n épreuve de bernouilli de paramètre p de façon identique et indépendante. Néanmoins, si p est ici égale à 0,395, il me semble que n est inconnu: on ignore le nombre de fois qu'on renouvelle l'épreuve de bernouilli.

Du coup je suis bloqué...

Merci pour le coup de main !

Analia

[titine]

On prélève 100 personnes donc on recommence 100 fois l'épreuve de Bernoulli consistant à prélever une personne qui part en vacances ou pas.
Donc n=100

[analia]

Merci Titine, je n'avais pas compris ça comme ça...

Du coup, l'espérance vaut 39,5 et l'écart type 4,89.

La probabilité que 45 personnes parmi les 100 ne partent pas en vacances est p(X=0,45) = (0,45-0,395)/4,89 = 0,011.

Je me trompe ?

merci à toi.

[titine]

Merci Titine, je n'avais pas compris ça comme ça...

Du coup, l'espérance vaut 39,5 et l'écart type 4,89.

La probabilité que 45 personnes parmi les 100 ne partent pas en vacances est p(X=0,45) = (0,45-0,395)/4,89 = 0,011.

Je me trompe ?

merci à toi.

Oui tu trompes.
Tu cherches P(X=45)
Or pour la loi binomiale P(X=k) = (k parmi n) p^k (1-p)^(n-k)

[analia]

Je confonds tout...

Mais 0,395^45 * 0,605^55, ça donne un résultat astronomique.
Avec 0,395^0,45 * 0,605^0,55 on obtient 0,5

Je permets d'abuser un peu de ton aide. J'ai une épreuve de maths mineure à mon capes de sciences sociales en fait, et je n'en ai plus fait depuis le bac. Il y a une deuxième partie à l'exercice.

On décide d'approcher la loi de variable aléatoire discrète par une loi normale Y, de paramètre m= 39;5 et écart type = 4,89.
Calculer : 1. p(44,5< Y<45,5) et 2. P(Y<35,5) puis interpréter.

DU coup là on centre et on réduite non ?
Si Y ---> N(u, éc) alors (Y-U)/éc ---> N(0,1) =Z
Donc p(Y<45,5) = p(Z<(45,2-39,5) /4,89) = 0,8790
Et P(Y<44,5)= P(Z<(44,5-39,5):4,89) = 0,8461
Donc p(44,5
Je me trompe ?

[paquito]

P(X=45)=(45 parmi 100)*0,395^45*0,605^55=0,0428.

Ensuite, comme n est grand, on remplace P(X=45) par P(44,5<Y<45,5);

D'où = , où Z suit une loi N(0,1).

=; la loi binomiale donne 0,207.