Fonctions homographiques

[Limace]

Bonjour ! Excusez-moi de vous déranger, mais voilà : je suis un peu perdue avec cet exercice (d'un DM) que je n'arrive pas à commencer. En fait, je n'arrive pas à faire le rapprochement avec le cours qu'on a eu (j'ai cherché d'autres cours sur internet, mais ça ne m'a pas aidée :marteau:).

Voilà le topo :


Je vois bien que ça parle de fonctions homographiques, mais je n'arrive pas du tout à rattacher ça à ces fonctions, je n'y comprends vraiment rien. Ils disparaissent où, les x ?

Une âme charitable pour m'aider à m'y retrouver, svp ? :freedent:

[fatal_error]

hello,

dans un premier temps, tu dois trouver la fonction g(x) représentative du graphe de droite.
On te dit elle est homographique, donc g est de la forme
g(x)=(ax+b)/(cx+d)
donc tu dois identifier a,b,c et d en choisissant des points du graphique.
par exemple, le point (0,0) à l'air confortable:
g(0) = b/d = 0
tu débrouilles pour prendre deux trois points ( à priori quatre vu que t'as quatre inconnues...)

en second lieu, tu dois comprendre ce que ca veut dire que l'élève il a inversé les colonnes. Et une fois ca compris, ben tu dois montrer que le fait d'inverser les colonnes ben ca correspond plus à la fonction f (heureusement...) mais g (enfin c'est le but)

[Tiruxa]

Bonsoir,

L'élève a fait surement d'autres erreurs car la courbe de droite ne représente même pas une fonction puisque 2,5 aurait deux images , par exemple...

S'il s'était contenté d'inverser les colonnes l'équation serait x=(2y-1)/(y+2) , obtenue en inversant x et y qui peut s'écrire aussi y=(-2x-1)/(x-2) après une petite transformation...

mais je le répète ce n'est pas le cas ici.

[Limace]

Bonjour !
merci de m'aider franchement, parce que je n'en vois pas le bout de ce DM !! Mais par contre excusez moi mais je n'ai pas tout a fait compris (mon cerveau est lent et les maths j'ai jamais su faire)
j'ai essayé plusieurs chose:
_ tout d'abord en recherchant f(y)=x soit 2x-1/x+2=x mais après ça ne cole pas car je tombe sur une fonction homographique égale a 0...
_ ensuite j'ai essayé de faire avec un système d'équation mais pareil je tombe au final sur 2x-1/x+2=2x-1/x+2 donc logique mais ça ne change rien...
_ par contre fatal_error je crois que je ne peux pas utiliser ce qu'il y a de noté dans le tableau parce que la prof a dit que ce ne serai pas précis...
merci beaucoup de votre patiente :)

[gwendolin]

bonjour,

x différent de -2

[Limace]

bonjour,
je sais que x+2=0 ce qui donne x=-2 donc jusque la je comprends mais vers quoi se diriger après ? parce qu'avec tous ces calcules je suis un peu perdues...

[gwendolin]

pour x=-2, le tracé de courbe donne une valeur de y

[Limace]

Cela donne y=2x+1/x+2 avec x=-2 on obtient ... -3/0 ? mais c'est pas possible :/

[gwendolin]

et justement sur la courbe de droite il existe un y pour x=-2--->preuve que cette courbe est fausse

[Tiruxa]

Bon voilà à gauche la représentation de f et à droite celle que l'on obtiendrait en inversant les colonnes de x et y :



On peut voir que celle de droite ne correspond pas à celle de l'énoncé.

Au risque de me répéter la courbe de droite ne représente pas une fonction homographique ni même une fonction car certains éléments ont deux images ce qui est impossible pour une fonction (voir droite en rouge sur le graphique ci-dessous) :

[Limace]

ah ! d'accord ! je comprends mais donc on ne peut pas valider cette conjecture ?

[Tiruxa]

ah ! d'accord ! je comprends mais donc on ne peut pas valider cette conjecture ?

Ce que je pense c'est que celui qui a rédigé l'énoncé ne s'est pas rendu compte de ce défaut (celui mis en évidence par la droite rouge)

Si le graphique était correct comme celui que je donne en haut à droite de mon post de 16h23 on pourrait valider la conjecture.

Le plus simple pour trouver la fonction homographique c'est d'inverser x et y dans l'équation (puisque les colonnes de x er de y ont été inversées)

Je vais détailler le calcul

Pour la fonction f l'équation de la courbe est y=(2x-1)/(x+2)

On inverse x et y, on obtient x=(2y-1)/(y+2), or l'équation doit se présenter sous la forme y=fonction de x, donc on va transformer l'égalité de façon à isoler y :

en multipliant par (y+2) on a : x(y+2)=2y-1

ou encore xy+2x=2y-1

donc xy - 2y= -2x-1

y(x-2)=-2x-1

et enfin y=(-2x-1)/(x-2), car x différent de 2

C'est donc bien une hyperbole représentant la fonction homographique g telle que
g(x)=(-2x-1)/(x-2)

Ce qui valide la conjecture, mais il ne faut pas trop regarder la figure...