Fonctions homographiques

par **sophie1989** » 04 Mai 2006, 20:30

Merci de m'aider à résoudre la fin ce problème (j'ai déjà trouvé la solution des 2 premiers points) :

1) Un article coûtant initialement 100 subit une augmentation de 25% puis une diminution de y%. Calculer y, sachant qu'à la suite de cette diminution, le prix de l'article est à nouveau de 100 .
Solution (sans détail) y = 20 %

2) Un prix P en revient à sa valeur initiale après avoir subi une augmentation de x% puis une diminution de y%.
Démontrer que y = (100x)/(x+100).
j'ai fait la démonstration, c'est OK.

3) Soit f la fonction définie sur [0;100] par f(x)=(100x)/(x+100) et C est sa courbe représentative dans un repère orthonormal du plan (1cm pour 5 unités).
a) déterminez les réels a et b tels que pour tout réel x de l'intervalle [0;100],
f(x)=a+[b/(x+100)].
b) En déduire le sens de variation de f sur l'intervalle [0;100] et dresser son tableau de variations.
c) Tracer la courbe C.
Je n'y arrive pas car je ne comprends pas à quelle valeur f(x) n'est pas définie (puisqu'il s'agit bien d'une fonction homographique).

4) a) Démontrer que si un prix revient à sa valeur initiale après une augmentation de x%, suivie d'une diminution de y%, alors le pourcentage de la diminution est inférieur au % d'augmentation.
En faire une illustration graphique.
b) Est-il possible que le % de diminution soit égal à la moitié du % d'augmentation ?
Je n'ai pas encore eu le temps de travailler ce point.

Merci d'avance pour toute aide

par **tigri** » 04 Mai 2006, 20:55

bonsoir

le 3)a) se résout en réduisant au même dénominateur la forme a+ b/(x+100) et en identifiant ensuite le numérateur obtenu avec 100x qui est le numérateur de la forme initiale : on trouve ainsi les valeurs de a et b nécessaires à cela

par **Daragon geoffrey** » 04 Mai 2006, 20:55

slt
je sui pose que tu es en seconde !??? bon ds le doute je considère que tu es en seconde et que donc la notion de dérivée n'est pas utilisable !
alor f=100x/(100+x) et on veut f=a + b/(100+x) équiv à 100a + xa + b = 100x donc par identification on trouve a=100 et b=-10000 donc on a f=100 - 10000/(100+x) ! pour le sens de variation, tu n'as plus qu'à comparer les images de 2 réels de l'intervalle de définition, tu dois avoir f croissante pour tt x de 'lintervalle ! bon pour tracer Cf ça devré aller ! considère juste l'intervalle [0;100] sachant que -100 valeur interdite n'en fait pas partie !

par **Touriste** » 04 Mai 2006, 20:56

Bonsoir,

Voici de l'aide pour le 3 :

sophie1989 a écrit:3) Soit f la fonction définie sur [0;100] par f(x)=(100x)/(x+100) et C est sa courbe représentative dans un repère orthonormal du plan (1cm pour 5 unités).
a) déterminez les réels a et b tels que pour tout réel x de l'intervalle [0;100],
f(x)=a+[b/(x+100)].

Tu réduis tout au même dénominateur et tu utilises ensuite le fait que deux polynômes sont égaux ssi tous leurs coef sont égaux.

b) En déduire le sens de variation de f sur l'intervalle [0;100] et dresser son tableau de variations.

Tu connais les variations de

donc en composant par la fonction inverse les variations de

, puis de

et enfin de f.

c) Tracer la courbe C.
Je n'y arrive pas car je ne comprends pas à quelle valeur f(x) n'est pas définie (puisqu'il s'agit bien d'une fonction homographique).

Tu peux détailler, je ne comprends pas ton problème.

par **Daragon geoffrey** » 04 Mai 2006, 21:08

slt
pour la suite le % d'augmentation est donné par 1+x/100, et tu connais des questions précédentes l'expression de y (le % de diminution) en fct de x : y=100x/(100+x), il te fo donc étudier le signe de la diférence de ces 2 expressions et conclure !
pour la b, la mise en équation donne 1 + x/100 = (1/2) * 100x/(100+x) et tu résouts ! ensuite l'interprétation graphique devré aller assez vite ! @ +

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